EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Módulo de 3+4i.
- PISTA 1
Una pista
Usa Pitágoras.
Un desarrollo posible.
El módulo de x+iy es √(x²+y²).
- Con x=3 e y=4 obtenemos √(9+16).
La raíz no negativa de veinticinco es 5.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Parte real de (1+i)².
- PISTA 1
Una pista
Desarrolla y usa i²=−1.
Un desarrollo posible.
- Desarrollamos (1+i)²=1+2i+i².
Como i²=−1, los términos reales uno y menos uno se cancelan.
Queda 2i, cuya parte real es 0.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Número de raíces cuartas distintas de un complejo no nulo.
- PISTA 1
Una pista
Los ángulos difieren en 2π/4.
Un desarrollo posible.
Para un complejo no nulo, las raíces cuartas tienen ángulos (θ+2kπ)/4.
- k=0,1,2,3 produce cuatro valores separados por π/2.
Son distintos y al aumentar k en cuatro se repiten. Hay 4 raíces distintas.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba z·conjugado(z)=|z|².
- PISTA 1
Una pista
Multiplica x+iy por x−iy.
Un desarrollo posible.
- Escribimos z=x+iy y conjugado(z)=x−iy.
- El producto es (x+iy)(x−iy)=x²−i²y²=x²+y²; los términos cruzados se cancelan.
- Por definición |z|²=x²+y², de modo que coinciden.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Encuentra las soluciones de z²=−4.
- PISTA 1
Una pista
Usa módulo y argumentos o factoriza.
Un desarrollo posible.
- La ecuación z²=−4 equivale a z²+4=0.
- Factorizamos en C: (z−2i)(z+2i)=0.
En un cuerpo un producto cero tiene un factor cero.
- Por tanto z=2i o z=−2i.
Ambos cuadrados son −4 y la factorización descarta otras soluciones.