Residuo de 3/z en cero.
Identifica el coeficiente de 1/z.
La expresión 3/z ya está en forma de Laurent.
El término de exponente −1 tiene coeficiente tres.
Orden del polo de 1/z⁴ en cero.
Mira el exponente negativo extremo.
La potencia negativa más baja en 1/z⁴ es −4 y su coeficiente es uno.
Multiplicar por z⁴ deja la función constante uno, holomorfa y no nula en cero.
Por tanto el orden del polo es 4.
Residuo de sin z/z en cero.
La singularidad es removible.
Dividir por z da 1−z²/6+…, sin potencias negativas.
La singularidad es removible y el coeficiente de z⁻¹ es cero: residuo 0.
Clasifica e^(1/z) en cero.
Expande la exponencial.
Para cada n positivo aparece una potencia negativa con coeficiente no nulo.
La parte principal tiene infinitos términos, por lo que cero es una singularidad esencial.
Calcula ∮|z|=2 1/(z²+1)dz.
Suma los residuos en i y −i.
Dentro de |z|=2 están i y −i, sin singularidades sobre el círculo.
Sus residuos son 1/(2i) y 1/(−2i), que suman cero.
El teorema de residuos da integral 2πi·0=0 con orientación positiva; invertir la orientación mantiene cero.