X~Bin(10,0,3). Halla E[X].
np.
La media de una binomial Bin(n,p) es np, obtenida al sumar las medias de sus indicadores.
El resultado es 3 éxitos en promedio, sin exigir que cada realización tenga tres.
Para X~Bin(10,0,3), halla Var(X).
np(1−p).
La varianza binomial es np(1−p), gracias a la independencia de los ensayos.
Calculamos 10·0,3·0,7=2,1; la desviación típica sería la raíz de ese valor, que no es lo solicitado.
Dos ensayos independientes con p=1/2. Halla P(ningún éxito).
Fallan ambos.
Ningún éxito en dos ensayos significa que ambos fracasan.
Cada fracaso tiene probabilidad 1−1/2=1/2 y los ensayos son independientes.
Tres ensayos independientes con p=1/2. Halla P(exactamente uno).
Hay tres posiciones posibles.
Exactamente un éxito puede ocupar cualquiera de las tres posiciones, por lo que C(3,1)=3.
Cada secuencia con un éxito y dos fracasos tiene probabilidad (1/2)³=1/8.
Sumamos las tres secuencias disjuntas y obtenemos 3·1/8=3/8.
Se extraen dos bolas sin reposición de una bolsa pequeña. ¿Es necesariamente binomial el número de rojas?
La probabilidad puede cambiar en la segunda extracción.
Sin reposición, la primera extracción modifica el número de bolas de cada color disponibles.
La probabilidad de rojo en la segunda puede depender del primer resultado, así que no se garantiza independencia con p constante.
Por tanto el número de rojas no es necesariamente binomial; faltaría justificar hipótesis adicionales.