EJERCICIO 1 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 1. Si sen θ=5/13 y θ es agudo, halla cos θ.
Repasar: Despejar un cuadrado da una magnitud; el cuadrante elige el signo ↗
PISTA 1 Aislar el cuadrado de la razón desconocida Usa cos²θ=1−sen²θ y sustituye la fracción completa entre paréntesis.
PISTA 2 Mantener un denominador común Escribe uno con denominador 169 y resta 25/169. Obtienes un valor para cos²θ; resolver esa ecuación cuadrática produce dos candidatas de signo opuesto.
PISTA 3 Aplicar la condición angular Un ángulo agudo tiene coseno positivo. El signo se decide con esa información y no solo extrayendo una raíz.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. La identidad da cos²θ=1−sen²θ=1−25/169=144/169.
La raíz de esa fracción tiene magnitud 12/13.
Como θ es agudo, cos θ>0 y el valor es 12/13; los cuadrados 25/169 y 144/169 suman uno.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 2 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 2. Si sen θ=3/5 y cos θ=4/5, halla tan θ.
Repasar: Dividir por coseno al cuadrado exige que no sea cero ↗
PISTA 1 Usar la definición con denominador no nulo La tangente es sen θ/cos θ y el coseno dado no es cero.
PISTA 2 Dividir las dos fracciones Escribe (3/5)/(4/5) y multiplica por el recíproco del divisor. No multipliques directamente ambas razones.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. El coseno 4/5 es no nulo, por lo que la tangente está definida.
tan θ=(3/5)/(4/5)=(3/5)(5/4)=3/4.
La cancelación de quintos conserva el cociente de las dos razones dadas.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 3 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 3. Calcula sen²θ+cos²θ para cualquier θ real.
Repasar: La identidad fundamental viene de un radio de longitud uno ↗
PISTA 1 Relacionar las dos razones con el punto unitario Las coordenadas del punto son cos θ y sen θ, y su distancia al centro es uno.
PISTA 2 Usar la ecuación de la circunferencia La suma de los cuadrados de las dos coordenadas es el cuadrado del radio. La identidad se cumple para todo ángulo real.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. El punto (cos θ,sen θ) está sobre la circunferencia de radio uno.
Su ecuación es cos²θ+sen²θ=1 para cualquier θ real.
Por tanto la suma pedida vale 1, sin necesidad de conocer el ángulo.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 4 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 4. Si tan θ=2 y está definida, halla 1/cos²θ.
Repasar: Dividir por coseno al cuadrado exige que no sea cero ↗
PISTA 1 Elegir la identidad que usa tangente Al dividir sen²θ+cos²θ=1 por cos²θ se obtiene tan²θ+1=1/cos²θ.
PISTA 2 Conservar el cuadrado y la unidad Sustituye tan θ=2 en 1+tan²θ. Calcula la potencia antes de sumar.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. La tangente definida garantiza cos θ≠0.
Usamos 1/cos²θ=1+tan²θ y sustituimos tan θ=2.
El resultado es 1+2²=5, coherente con una secante al cuadrado al menos uno.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 5 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 5. Con cos θ=−3/5 y θ en el tercer cuadrante, halla sen θ.
Repasar: El signo se comprueba también en cocientes y recíprocos ↗
PISTA 1 Hallar primero una magnitud Plantea sen²θ=1−cos²θ. El cuadrado de la fracción negativa es positivo.
PISTA 2 Separar las dos candidatas de signo La raíz del valor de sen²θ da una magnitud. Todavía falta usar el cuadrante para elegir entre los dos signos.
PISTA 3 Leer la posición vertical del tercer cuadrante En ese cuadrante tanto la coordenada horizontal como la vertical son negativas. El seno tiene el signo de la vertical.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. El coseno dado tiene cuadrado 9/25, así que sen²θ=1−9/25=16/25.
El seno tiene magnitud 4/5, pero el tercer cuadrante exige signo negativo.
Por tanto sen θ=−4/5; ambos signos negativos corresponden al cuadrante y los cuadrados suman uno.
He comparado y revisado mis pasos ✓