Herramientas para dar el siguiente paso

Un cardinal expresa el tamaño de un conjunto, identificando conjuntos que admiten una biyección. Un ordinal describe un tipo de buen orden: todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

Los ordinales finitos son 0, 1, 2, …; ω representa el orden usual de los naturales. ω + 1 añade un elemento después de todos ellos. ω y ω + 1 son numerables y tienen el mismo cardinal, pero distintos tipos de orden.

Un módulo sobre un anillo es un grupo abeliano cuyos elementos se pueden multiplicar por escalares del anillo, respetando las reglas distributivas y la compatibilidad de los productos. Si el anillo tiene unidad, aquí exigimos que 1 actúe como identidad.

Los espacios vectoriales son módulos sobre cuerpos. La diferencia es que un escalar no nulo de un anillo puede no tener inverso. Por ejemplo, los grupos abelianos son módulos sobre los enteros: multiplicar por 3 significa sumar tres veces.

Una inclusión de anillos A ⊆ B permite comparar sus elementos y sus operaciones. Por ejemplo, los enteros están contenidos en los racionales. Más generalmente se estudia un homomorfismo A → B que hace de B un álgebra sobre A.

Un elemento b de B es integral sobre A si satisface un polinomio mónico con coeficientes en A. La raíz cuadrada de 2 es integral sobre los enteros porque satisface x² − 2 = 0. La condición «mónico» significa que el coeficiente principal es 1.

Una categoría tiene objetos y morfismos entre ellos.

La composición es asociativa y cada objeto tiene un morfismo identidad que no cambia los morfismos al componer.

En la categoría de conjuntos, los objetos son conjuntos y los morfismos son funciones. En la de espacios vectoriales, los morfismos son aplicaciones lineales. No se pueden componer dos morfismos si no encajan su destino y su origen.

Para espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo, Hom(V, W) es el espacio de aplicaciones lineales de V en W. La suma y el producto por escalares se calculan punto a punto.

El producto tensorial V ⊗ W convierte aplicaciones bilineales en aplicaciones lineales: toda aplicación bilineal de V × W a U factoriza de manera única por una aplicación lineal de V ⊗ W a U.

Un tensor general puede ser una suma de tensores simples y no tiene por qué ser un único v ⊗ w.

Sobre un anillo conmutativo se usan módulos y aplicaciones bilineales sobre ese anillo. Sobre un anillo no conmutativo hay que distinguir módulos derechos e izquierdos y exigir la relación (vr) ⊗ w = v ⊗ (rw).

Las coordenadas proyectivas identifican (x₀, …, xₙ) no nulo con todos sus múltiplos por un escalar no nulo. Escribimos [x₀: … :xₙ]. En la carta x₀ ≠ 0 podemos dividir por x₀ y trabajar con coordenadas ordinarias.

En una variedad algebraica integral, una función racional puede representarse localmente como un cociente p/q donde q no es idénticamente cero. Dos representaciones equivalentes coinciden en un abierto denso común. Esto permite estudiar funciones sin exigir una única fórmula regular en todos los puntos.

Una curva proyectiva es una variedad algebraica de dimensión uno dentro de un espacio proyectivo. Sus ecuaciones se escriben con polinomios homogéneos, para que no dependan del representante de las coordenadas. Por ejemplo, XZ − Y² = 0 define una cónica proyectiva.

En una curva lisa, un parámetro local t permite expresar una función racional no nula como tᵐu, con u invertible en el punto. El entero m es su orden: positivo indica un cero, negativo un polo y cero una función localmente invertible. Por ejemplo, t³ tiene orden 3 y 1/t tiene orden −1.

A cada elemento del grupo le asigna una aplicación lineal invertible y respeta la multiplicación: ρ(gh) = ρ(g)ρ(h).

Para un grupo finito G y un cuerpo k, el álgebra de grupo k[G] contiene las sumas formales de elementos de G con coeficientes en k. El producto extiende el del grupo por distributividad. Una representación de G en un espacio vectorial sobre k equivale a una estructura de módulo sobre k[G].

Un campo vectorial asigna a cada punto un vector tangente, de forma suave cuando trabajamos en geometría diferencial. En el plano, X(x, y) = (−y, x) asigna vectores tangentes a círculos centrados en el origen.

Una curva integral γ del campo cumple γ′(t) = X(γ(t)): su velocidad sigue las flechas del campo. Sobre una variedad, los vectores pertenecen al espacio tangente de cada punto; no se identifican automáticamente vectores de puntos distintos.

Una métrica riemanniana asigna suavemente un producto interior positivo definido a cada espacio tangente. Permite medir la norma de la velocidad de una curva e integrar esa norma para obtener su longitud. En el plano euclídeo recuperamos el producto escalar habitual.

Una forma diferencial de grado k asigna suavemente una aplicación multilineal alternada a k vectores tangentes. Las funciones son formas de grado 0; dx y dy son ejemplos de formas de grado 1 en el plano.

La derivada exterior d aumenta el grado en uno y cumple d² = 0. Una forma ω es cerrada si dω = 0 y exacta si ω = dη para alguna η. Toda forma exacta es cerrada; el recíproco puede fallar globalmente.

La cohomología de de Rham Hᵏ identifica formas cerradas de grado k que difieren en una exacta. En el círculo, una forma que mide el avance angular puede ser cerrada y tener integral no nula alrededor de una vuelta; por eso no puede ser la diferencial de una función global.

Un operador lineal T entre espacios normados es acotado si existe C finita tal que ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ para todo x. Esto equivale a que sea continuo. En dimensión finita puede representarse mediante una matriz; con escalares complejos, sus entradas pueden ser complejas.

Una álgebra combina un espacio vectorial con un producto bilineal. Las matrices cuadradas de tamaño fijo forman una álgebra; su producto no es conmutativo en general.

Una función de prueba es una función infinitamente derivable con soporte compacto en el dominio. Una distribución actúa lineal y continuamente sobre estas funciones. Así se pueden definir derivadas de funciones que no son derivables en sentido clásico mediante integración por partes.

Un símbolo describe la acción de un operador según la posición y la frecuencia. Con la convención Dⱼ = −i∂/∂xⱼ, el operador Dⱼ tiene símbolo ξⱼ y −Δ tiene símbolo |ξ|². Las estimaciones del símbolo son parte esencial de su definición en análisis pseudodiferencial.

En aproximación numérica, un residuo mide cuánto incumple una aproximación la ecuación: para Ax = b y una aproximación x̃, r = b − Ax̃. En una ecuación diferencial Lu = f aparece f − Lũ, junto con los términos de contorno o de interfaz que correspondan.

Este residuo no es el residuo de una función compleja.

Podemos representar el círculo como los números reales módulo 1. La rotación T(x) = x + α módulo 1 mueve todos sus puntos el mismo ángulo; iterar significa aplicar T una y otra vez.

Una medida μ es invariante para una transformación medible T si μ(T⁻¹(A)) = μ(A) para todo conjunto medible A. Las rotaciones preservan la longitud normalizada del círculo. Invariancia no significa que cada punto se quede fijo.

Una filtración es una familia creciente de sigma-álgebras: si s ≤ t, entonces Fₛ ⊆ Fₜ. Representa información que se acumula con el tiempo; conocer el pasado no incluye conocer de antemano el resultado del futuro.

En lanzamientos sucesivos de una moneda, Fₙ recoge lo que sabemos tras los primeros n lanzamientos. Un proceso Xₙ es adaptado si Xₙ es medible respecto de Fₙ. La condición de martingala compara el valor actual con la esperanza del siguiente valor condicionada a esa información.

Un código representa mensajes mediante palabras de un alfabeto. La distancia de Hamming cuenta las posiciones distintas en dos palabras de la misma longitud: 010 y 110 están a distancia 1. Esta distancia permite estudiar detección y corrección de errores.

Para una variable discreta con probabilidades pᵢ, su entropía de Shannon es H = −Σ pᵢ log₂(pᵢ), con el convenio 0 log₂(0) = 0. Se mide en bits y expresa la incertidumbre media. Una moneda equilibrada tiene entropía 1; un resultado seguro tiene entropía 0.

Si un código tiene distancia mínima d, detecta hasta d − 1 cambios de símbolo. La corrección única de hasta t errores se garantiza cuando 2t < d, porque las bolas de radio t alrededor de palabras distintas no se solapan.

En relatividad especial, un suceso tiene una coordenada temporal y tres espaciales. En coordenadas inerciales se utiliza el espacio de Minkowski, con intervalo −c²dt² + dx² + dy² + dz² en la convención de signos que elegimos aquí.

Las transformaciones de Lorentz conservan este intervalo. La forma es no degenerada pero no positiva definida: no es una métrica riemanniana. Su extensión a geometrías lorentzianas curvas es parte de la relatividad general.

Una variable aleatoria discreta toma un conjunto finito o numerable de valores; sus probabilidades son no negativas y suman 1. La distribución normal es continua. Un vector gaussiano se caracteriza porque toda combinación lineal de sus componentes tiene distribución normal, admitiendo los casos degenerados.

Si Z₁, …, Zₖ son normales estándar independientes, Z₁² + … + Zₖ² tiene distribución chi-cuadrado con k grados de libertad. La independencia y la normalización son necesarias en esta construcción.

En clasificación, un predictor asigna una clase a partir de unos datos de entrada. Su riesgo es la esperanza de una función de pérdida. Para la pérdida 0–1, el riesgo es la probabilidad de clasificar mal. La tasa de error en los datos de entrenamiento es una estimación empírica y no garantiza por sí sola un error pequeño en datos nuevos.