Variables y lenguaje algebraico

En el dibujo, x es el precio de un cuaderno en euros. Los tres cuadernos tienen el mismo precio: por eso usamos la misma letra. Añadimos un bolígrafo de 2 €. La cuenta completa es x + x + x + 2, o de forma abreviada, 3x + 2.

La letra x no significa «multiplica» aquí; es el nombre de una cantidad. La a no vale uno por ser la primera del alfabeto ni la b vale dos. El ejercicio o el contexto dirán qué representa cada letra y qué valores puede tomar.

Si miramos el coste 2p mientras cambia el precio p, decimos que p es una variable: estudiamos cómo cambian las cantidades. Si nos dicen 2p = 14 y preguntan qué precio cumple la igualdad, p actúa como incógnita: buscamos su valor.

En una relación C = pn, podemos fijar el precio p y dejar variar la cantidad de entradas n. En esa comparación, el precio fijo p actúa como parámetro. No es un tipo especial de letra; es el papel que tiene en ese problema. No necesitas memorizar estos nombres para empezar a traducir, pero sí distinguir qué dato conocemos y cuál cambia.

La expresión x + 4 indica sumar cuatro a x. No afirma cuánto vale ese resultado.

Todavía no estamos imponiendo una igualdad con un resultado concreto.

La ecuación x + 4 = 9 exige que la cuenta de la izquierda sea igual a nueve. Ahora solo algunos valores cumplen la condición: x = 5 sí la cumple; x = 2 no. No añadimos un signo igual con un resultado inventado cuando únicamente nos piden traducir una expresión.

3x significa 3 · x, no el número de dos cifras «3x» ni 3 + x. Del mismo modo, ab significa a · b y 2(x + 1) significa multiplicar por dos todo lo que está dentro del paréntesis. Para no confundir el signo de multiplicación con la letra x, usaremos el punto · o la escritura sin signo.

En 3x + 2, la suma separa dos términos: 3x y 2. El tres es el coeficiente de x, la cantidad que la multiplica.

Cuando reunimos 3x y 2x, contamos cinco copias de la misma cantidad: 5x.

Suma nombra una adición; diferencia, una resta; producto, una multiplicación; cociente o razón, una división. «El doble» es multiplicar por dos y «la mitad», dividir entre dos. «El cuadrado» de un número es multiplicarlo por sí mismo, no multiplicarlo por dos.

En restas y divisiones el orden importa. La diferencia de a y b, en ese orden, se escribe a − b.

Letras distintas no obligan a valores distintos: a y b pueden ser iguales si el contexto lo permite.

«Cinco más que un número» significa empezar en n y añadir cinco: n + 5. «Cinco menos que un número» significa empezar en n y quitar cinco: n − 5. En cambio, «la diferencia de cinco y ese número» indica 5 − n.

Para números enteros consecutivos, si el primero es n, el siguiente es n + 1 y el tercero n + 2. «Consecutivo» indica que avanzamos de uno en uno. Para pares consecutivos avanzamos de dos en dos; si uno es 2k, el siguiente es 2k + 2.

«El triple de la diferencia entre x y cuatro» pide dos acciones: formar x − 4 y después multiplicar ese resultado por tres. Escribimos 3(x − 4). Los paréntesis guardan la diferencia completa como un bloque.

3x − 4 dice otra cosa: triplicar primero x y restar cuatro después.

Dibujar o escribir la secuencia de acciones ayuda a decidir dónde agrupar.

Si x es el precio en euros de un cuaderno y compramos tres, 3x es un coste en euros. Si n es una cantidad de cuadernos, en este contexto n debe ser un entero no negativo: no compramos −2 cuadernos. Una expresión sola no cuenta toda la situación si omitimos qué representa cada dato.

Una división exige divisor distinto de cero. Si repartimos 12 euros por igual entre n personas, 12/n es el dinero por persona, con n entero positivo. No incluimos n = 0, porque no existe ese reparto entre cero personas. Las restricciones nacen tanto de las operaciones como del contexto.

Al terminar, lee tu expresión en voz alta siguiendo sus operaciones y compárala con la frase. Después prueba un valor fácil. Si una traducción pretende «el doble de un número más tres» con el significado de duplicar primero y añadir tres, para n = 4 debe dar 8 + 3 = 11.

Un caso que falla basta para descartar una supuesta igualdad general. Un caso que coincide no prueba que dos expresiones sean idénticas para todos los valores. Por ejemplo, 2n y n² coinciden para n = 2, pero no para n = 3. La estructura de la cuenta es la justificación principal.