Una simetría algebraica puede cambiar algunas raíces y dejar intactas las operaciones que las relacionan. Si sabemos cuáles son esas simetrías, podemos recuperar los cuerpos intermedios de una extensión de Galois. Empezaremos verificando un cambio de signo, pasaremos a cuatro simetrías independientes y leeremos la correspondencia en un diagrama.
Si necesitas repasar:
1. Un automorfismo conserva todas las operaciones y fija la base
Un K-automorfismo σ:L→L es una biyección que preserva suma, producto y cada elemento de K. También conserva cero, uno e inversos. Estas aplicaciones forman un grupo bajo composición; el neutro es la identidad y la inversa de cada una sigue fijando K.
Si L=K(α), conocer σ(α) determina la imagen de cualquier expresión racional en α. Pero una elección para α solo es válida si respeta todas sus relaciones y produce una aplicación del cuerpo en sí mismo. No basta escribir una regla sobre un símbolo.
Verificar un cambio de signo en coordenadas
L=ℚ(√3); define σ(a+b√3)=a−b√3.
Bien definida
Las coordenadas a,b racionales son únicas, así que la regla no depende de elegir una escritura.
Producto
El término (√3)²=3 permanece fijo y los términos lineales cambian de signo, igual que al multiplicar las dos imágenes.
Biyección
Aplicar σ dos veces devuelve la entrada; fija todos los racionales.
Es un automorfismo de L sobre ℚ.
La prueba usa coordenadas únicas, conservación de operaciones y una inversa; no solo una sustitución informal.
Una elección que rompe la relación
Intenta enviar √3 a 2√3 fijando ℚ.
Relación original
(√3)²=3.Lo que exigiría σ
σ(√3)²=σ(3)=3.Fallo
(2√3)²=12, distinto de tres.
La regla no define un automorfismo.
Ni siquiera conservar una forma parecida de radical basta: debe conservarse cada identidad algebraica.
2. Las imágenes posibles son raíces conjugadas que realmente estén dentro del cuerpo
En particular, la imagen del generador debe ser una raíz de su mínimo. Si no está en L, no puede ser imagen de una aplicación L→L.
Con varios generadores, las elecciones también deben respetar sus relaciones mutuas. Cuando un polinomio separable genera su cuerpo de descomposición mediante raíces, los automorfismos actúan fielmente sobre ellas y forman un subgrupo de sus permutaciones; no se permiten permutaciones arbitrarias sin comprobar compatibilidad.
Una raíz cúbica real deja una única imagen interna
L=ℚ(α), α=∛3 real.
Candidatas
El mínimo x³−3 tiene raíces α,αω,αω², con ω=e^(2πi/3).Pertenencia
L solo contiene reales, así que las dos raíces no reales están fuera.
Fijar generador
Solo queda α↦α; fijar α y ℚ fija todo L.
Aut(L/ℚ) contiene solo identidad aunque [L:ℚ]=3.
El dibujo muestra por qué no se pueden usar las dos candidatas complejas como imágenes internas.
Dos signos no son independientes si los generadores dependen
L=ℚ(√2,√8)=ℚ(√2).
Relación
√8=2√2.Conservar
Si σ(√2)=−√2, debe enviar √8 a −√8.Imposible
Mantener √8 positiva mientras se cambia solo √2 violaría esa relación.
Solo hay dos automorfismos, no cuatro elecciones independientes.
El número de radicales escritos no cuenta automáticamente generadores independientes ni simetrías distintas.
3. Un cuerpo de descomposición reúne todas las raíces del polinomio
El cuerpo de descomposición de f sobre K es el menor donde f factoriza en lineales. Se construye añadiendo raíces sucesivamente y es finito para un polinomio de grado finito. Un solo generador real puede dejar conjugadas fuera.
L/K es normal si todo irreducible de K[x] con una raíz en L se descompone allí por completo. Para extensiones finitas equivale a ser cuerpo de descomposición de algún polinomio. Es una propiedad relativa a la base, no sinónimo de ser un subcuerpo real o complejo.
Una raíz cuadrada completa su polinomio
L=ℚ(√3).
Raíces
√3 y −√3 están en L.
Generar
L es el menor cuerpo que contiene esas raíces.
Normalidad
Es cuerpo de descomposición de x²−3 y por tanto normal sobre ℚ.
Aquí añadir una raíz bastó para el cuerpo de descomposición.
La conclusión se apoya en contener todas las raíces del polinomio que genera la extensión.
Completar la cúbica real
α=∛3 y ω=e^(2πi/3); S=ℚ(α,ω).
Primer grado
[ℚ(α):ℚ]=3 por Eisenstein.Añadir ω
No es real y no estaba en ℚ(α). Satisface x²+x+1, sin raíces reales, irreducible sobre ese cuerpo real.
Torre
[S:ℚ]=2·3=6.Todas las raíces
S contiene α,αω,αω² y está generado por ellas, así es el cuerpo de descomposición de x³−3.
S/ℚ es normal; la extensión real de grado tres no lo era.
Añadir ω no fue un detalle de notación: cambió el cuerpo y su grado.
4. Separabilidad significa distinguir raíces, no solo tenerlas disponibles
Un irreducible es separable si tiene raíces distintas en su cuerpo de descomposición.
En característica cero, un irreducible de grado positivo tiene derivada no nula de menor grado; no puede compartir un factor no constante con ella y por tanto es separable.
En característica p, el coeficiente p vale cero y una derivada puede anularse. No se traslada el argumento de ℚ sin comprobarlo. Un polinomio reducible de característica cero también puede tener raíces repetidas, por ejemplo el cuadrado de una cuadrática; la afirmación anterior decía irreducible.
Separabilidad de la cúbica del ejemplo
f=x³−3 en ℚ[x].
Irreducible
Eisenstein con tres.
Derivada
f′=3x²; su única raíz es cero, que no anula f.Mcd
No comparten raíz ni factor no constante; mcd=1.
Las tres raíces de x³−3 son distintas.
Que dos no pertenezcan al cuerpo real generado por α es falta de normalidad, no de separabilidad.
Un ejemplo inseparable con característica dos
K=𝔽₂(t), funciones racionales en t sobre el cuerpo de dos elementos; f=x²−t.
No hay raíz en K
Si t fuera un cuadrado de fracción de polinomios, en t·v(t)²=u(t)² el exponente del factor t sería impar a la izquierda y par a la derecha. Imposible.
Irreducible
La cuadrática no tiene raíz en K; si β²=t, [K(β):K]=2.Repetición
En característica dos, f=(x−β)² y f′=2x=0; solo hay una raíz distinta.
Es una extensión inseparable de grado dos.
Aquí 1+1=0 en los coeficientes; no se están haciendo las operaciones de un cuerpo de característica cero.
5. Finita de Galois significa normal y separable: entonces el grupo tiene tamaño igual al grado
En una extensión finita general, el número de automorfismos solo queda acotado superiormente por el grado. Las imágenes de generadores están limitadas por sus mínimos y deben permanecer dentro del cuerpo.
Normalidad asegura disponibilidad de conjugadas y separabilidad que se distingan. Ambas son necesarias para esa igualdad general. Vamos a verificar una extensión con cuatro automorfismos y contrastar una normal que pierde la igualdad por inseparabilidad.
Cuatro signos independientes
L=ℚ(√2,√5).
Primer paso
ℚ(√2) tiene grado dos.
Segundo paso real
Si √5=a+b√2 con a,b racionales, cuadrar y comparar coeficientes da ab=0.Quedaría un racional de cuadrado cinco o cinco medios, ambos imposibles porque el exponente del primo cinco en un cuadrado racional es par.
Grado
√5 no estaba en ℚ(√2): la torre da grado cuatro y base {1,√2,√5,√10}.
Simetrías
Se pueden cambiar independientemente los dos signos: las relaciones de sus cuadrados y sus productos permanecen, y cada regla tiene inversa.
Hipótesis
Es cuerpo de descomposición de (x²−2)(x²−5), separable en característica cero.
El grupo tiene cuatro elementos y es C₂×C₂.
Los tres cambios no triviales tienen orden dos; no es un grupo cíclico de orden cuatro.
Normalidad sola no resuelve el ejemplo de característica dos
K=𝔽₂(t), β²=t y L=K(β).
Normal
L descompone x²−t=(x−β)² por completo, así que es cuerpo de descomposición.
Imagen
Todo automorfismo debe enviar β a una raíz de ese mínimo; solo existe la raíz distinta β.
Conteo
Solo identidad, frente al grado dos; falta separabilidad.
La extensión es normal e inseparable, y no es de Galois.
La igualdad grupo igual a grado no se usa solo por haber comprobado normalidad.
6. Un cuerpo fijo contiene los elementos que todas las simetrías elegidas dejan iguales
Es cuerpo: si dos elementos son fijos, también lo son suma, producto y, para no nulos, inversos. Contiene K por definición de los automorfismos.
Si H₁⊆H₂, fijar todos los elementos de H₂ impone más condiciones: Lᴴ²⊆Lᴴ¹. La correspondencia invierte inclusiones. Fijar solo identidad deja todo L; para una extensión finita de Galois, fijar todo el grupo deja exactamente K.
Resolver la condición fijo en una cuadrática
L=ℚ(√3), σ cambia el signo de √3.
Elemento general
x=a+b√3.Igualar
σ(x)=x exige a−b√3=a+b√3, de donde 2b√3=0 y b=0.Resultado
Los fijos de {id,σ} son exactamente los racionales; los de {id} son todo L.
Más simetrías que fijar producen un cuerpo fijo menor.
La conclusión se calculó con coordenadas, sin asumir que el conjunto fijo fuera una mera lista de generadores.
Cambiar un radical y dejar otro
En L=ℚ(√2,√5), a cambia solo el signo de √2.
Coordenadas
x=u+v√2+w√5+s√10, con racionales u,v,w,s.Acción
a(x)=u−v√2+w√5−s√10.Fijar
Por independencia de la base, a(x)=x equivale a v=s=0.
L^⟨a⟩=ℚ(√5).
√10 también cambia de signo porque es el producto de las dos raíces; no es una elección independiente.
7. El teorema fundamental empareja exactamente subgrupos y cuerpos intermedios
Para L/K finita de Galois, M↦Gal(L/M) y H↦Lᴴ son operaciones inversas.
El tamaño de H mide el grado de L sobre el fijo, no necesariamente el grado del fijo sobre K.
La demostración general usa la independencia de automorfismos distintos para establecer el teorema del cuerpo fijo de Artin, [L:Lᴴ]=|H|; junto con la torre y la extensión de inmersiones se obtiene la correspondencia. Aquí desarrollamos sus condiciones y verificamos los emparejamientos por coordenadas en ejemplos finitos.
El subgrupo que cambia los dos signos a la vez
L=ℚ(√2,√5), H={id,c}, con c negando ambas raíces.
Efecto
c cambia signos de √2 y √5, pero fija √10.
Coordenadas fijas
u+v√2+w√5+s√10 es fijo exactamente si v=w=0.Grados
Lᴴ=ℚ(√10), con [L:Lᴴ]=2 y [Lᴴ:ℚ]=2.
Corresponde al tercer intermedio cuadrático del dibujo.
Los tres subgrupos de orden dos de C₂×C₂ dan exactamente los tres intermedios propios no triviales.
No invertir los dos grados por accidente
Supón una extensión finita de Galois de grado doce y un subgrupo H de orden tres.
Grado superior
[L:Lᴴ]=|H|=3.Sobre la base
[Lᴴ:K]=12/3=4.Torre
3·4=12 confirma ambos números.
El cuerpo fijo tiene grado cuatro sobre K, no tres.
El subgrupo actúa en L fijando ese cuerpo; su tamaño corresponde al paso que queda por encima de él.
8. Subgrupos normales corresponden a intermedios de Galois sobre la base
Entonces cada simetría global preserva M y restringirla da Gal(M/K)≅G/H. La normalidad es lo que permite una operación de cociente y una restricción coherente hacia M.
No se deduce que cualquier intermedio de una extensión de Galois sea de Galois sobre K. Sí lo es L/M; lo que puede fallar es la normalidad del paso inferior M/K. Veremos una extensión abeliana donde todos funcionan y otra con un intermedio real no normal.
Todos los intermedios cuadráticos del dibujo son de Galois
L=ℚ(√2,√5) con G=C₂×C₂.
Subgrupos
Los tres subgrupos de orden dos son normales porque G es abeliano.
Fijos
Son ℚ(√2), ℚ(√5), ℚ(√10).
Cocientes
Para cada uno, G/H tiene dos elementos y describe su grupo de Galois sobre ℚ.
Los tres pasos inferiores son extensiones cuadráticas de Galois.
Para H que cambia solo √2, la simetría que cambia √5 representa la clase no trivial y actúa en el fijo ℚ(√5).
Un intermedio de un cuerpo de descomposición que no es normal
S=ℚ(α,ω), α=∛3 y ω=e^(2πi/3).
Grupo global
S es de Galois y de grado seis; actúa fielmente en las tres raíces de x³−3, así su grupo es todo S₃.
Intermedio
M=ℚ(α) tiene grado tres; [S:M]=2.Subgrupo
H=Gal(S/M) tiene dos elementos: identidad y conjugación compleja, que intercambia las dos raíces no reales.
Normalidad
Ese estabilizador es un subgrupo generado por una transposición en S₃, que no es normal.
M/ℚ no es de Galois, aunque S/ℚ sí lo sea.
La comprobación directa coincide: M no contiene las dos conjugadas no reales de α.
9. Radicales y construcciones usan la estructura del grupo, con alcances distintos
En característica cero, la resolución de un polinomio por radicales equivale a que el grupo de Galois de su cuerpo de descomposición sea resoluble. Resoluble significa una cadena donde cada subgrupo es normal en el anterior y los cocientes sucesivos son abelianos. No significa que todo el grupo sea abeliano.
Esta equivalencia requiere una teoría adicional de torres radicales y no la demostramos a partir de un solo automorfismo. Para regla y compás, las torres son cuadráticas: un número construible algebraico tiene grado potencia de dos, condición necesaria que sola no sustituye construir una torre adecuada.
La raíz cúbica ofrece un contraste claro.
Un grupo no abeliano que permite radicales
El grupo de x³−3 es S₃.
Cadena
S₃ contiene normalmente A₃, que contiene el subgrupo identidad.
Cocientes
S₃/A₃ es C₂ y A₃/{e} es C₃, ambos abelianos.
Raíces
α=∛3 y las otras αω,αω² usan además ω=(−1+√(−3))/2.
S₃ es resoluble y el polinomio se resuelve por radicales.
El grupo S₃ no es abeliano; la propiedad pertinente era la cadena de cocientes abelianos.
Un radical permitido no tiene por qué ser construible con regla y compás
α=∛3.
Grado
Su mínimo es x³−3 por Eisenstein, de grado tres.
Torres cuadráticas
Los grados de una torre de pasos cuadráticos son potencias de dos; el grado de un intermedio debe dividir ese total.
Imposible
Tres no divide ninguna potencia de dos.
∛3 no es construible con regla y compás, aunque sea un radical explícito.
La conclusión es sobre esas herramientas geométricas; no niega que el número exista ni que pueda aproximarse.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
La conjugación de una raíz
Describe Gal(Q(√2)/Q).
Generador
L=ℚ(α), α=√2, mínimo x²−2 y coordenadas a+bα.Candidatas
Todo automorfismo fija racionales y envía α a α o −α.
Identidad
α↦α fija todo L.
Cambio de signo
σ(a+bα)=a−bα conserva suma y producto porque α²=2 queda fijo.
Inversa
σ²=id; es distinta de identidad y biyectiva.Grupo
No hay más imágenes del generador: dos elementos, grupo cíclico de orden dos. La extensión descompone el mínimo separable y su grado es dos.
Grupo cíclico de orden 2.
Q(√2) contiene las dos raíces distintas de x²−2, así es normal y separable. Su grado dos coincide con los dos automorfismos.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una extensión no normal
Estudia Q(∛2)/Q dentro de R.
Campo real
α=∛2 y ℚ(α)⊂ℝ.Grado
x³−2 es irreducible por Eisenstein con dos, luego el grado es tres.
Conjugadas
Sus raíces son α,αω,αω², con ω una raíz cúbica no real de la unidad.
Pertenencia
Las dos conjugadas no reales no pertenecen al cuerpo real ℚ(α).
Automorfismos
Solo puede fijarse α; al fijar también ℚ queda fijado todo el cuerpo y el grupo es trivial.
Galois
La extensión no es normal, aunque sea separable de característica cero; no es de Galois. Por eso el grupo tiene orden uno frente al grado tres.
Su grupo de automorfismos es trivial; la extensión no es Galois.
El orden del grupo es uno frente al grado tres. La falta de normalidad explica por qué no se aplica la igualdad de una extensión finita de Galois.
Los símbolos que hemos usado
- Aut_K(L)
- Grupo de automorfismos de L que fijan punto a punto el cuerpo base K.
- Gal(L/K)
- Notación usual para Aut_K(L); el nombre no implica por sí solo que la extensión sea de Galois.
- Lᴴ
- Cuerpo de elementos de L fijados por todos los automorfismos del subgrupo H.
- [L:K]
- Grado de L sobre K, es decir, su dimensión vectorial.
- Normal
- Extensión algebraica donde todo irreducible de K[x] que tenga una raíz en L se descompone completamente en L.
- Separable
- Extensión donde cada elemento tiene polinomio mínimo sin raíces repetidas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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