Intervalos de confianza

Para cada parámetro θ, una regla busca Pθ(L(X)≤θ≤U(X))=1−α, o al menos 1−α si es conservadora. En esas repeticiones θ es fijo y los extremos cambian con la muestra. El dibujo muestra varias realizaciones, no estima un 95 % a partir de cinco filas.

Después de observar, el intervalo y θ frecuentista son valores fijos: contiene o no contiene al parámetro. El nivel no se convierte por sí solo en probabilidad posterior de θ. La cobertura declarada depende del modelo y diseño con que se calibró la regla.

Un pivote Q(X, θ) tiene una distribución conocida que no depende del parámetro desconocido. Elegimos cuantiles que encierren la probabilidad deseada y despejamos θ. Los extremos finales solo pueden depender de datos y cantidades conocidas.

La inversión respeta signos, positividad y dominio. Una cantidad en el denominador puede invertir el orden de los cuantiles. El intervalo no tiene por qué ser simétrico ni estar centrado en un estimador particular.

Con normales iid y σ>0 conocida, Z=(X̄−μ)/(σ/√n) es normal estándar.

Al despejar obtenemos X̄±cσ/√n.

La distribución es exacta bajo normalidad iid; los cuantiles decimales se usan aproximados cuando se redondean. Para otras poblaciones, esa misma forma puede ser aproximada por TCL bajo sus hipótesis. Conocer σ no basta para hacer normal una media cualquiera.

Para n≥2 normales iid, T=(X̄−μ)/(S/√n) tiene ley tn−1 gracias a la independencia entre media y varianza muestral. El intervalo es X̄±tn−1,1−α/2 S/√n. Para el modelo normal no degenerado, S>0 casi seguramente.

La t tiene colas más pesadas por el denominador aleatorio. Sin normalidad, no se mantiene ese argumento exacto; con momentos y condiciones adecuados puede usarse una aproximación asintótica, que se identifica como tal.

La varianza está en el denominador del pivote, por eso se invierte el orden. El intervalo no es simétrico alrededor de S². Para σ se toman las raíces positivas de ambos extremos, porque la raíz crece.

El intervalo Wald binomial es p̂±z√(p̂(1−p̂)/n). Es aproximado y sustituye p por p̂ en su dispersión. Con cero éxitos, p̂=0 y devuelve ancho cero, aunque muchos p positivos puedan producir esa muestra.

Wilson invierte una desigualdad de score con p en la varianza y mantiene un intervalo no degenerado en ese caso. Clopper–Pearson invierte colas binomiales exactas y es conservador. Son reglas distintas; no se intercambian sus garantías cerca de los extremos.

Para m≤e, con e>0 fijado, se necesita n≥(zσ/e)² y se redondea hacia arriba. Reducir el margen entre dos exige cuadruplicar n.

Un nivel mayor requiere un cuantil mayor y ensancha el intervalo si la muestra y dispersión son las mismas. Si σ se estima o el diseño tiene dependencia, la planificación debe reflejar esas incertidumbres; no se conserva automáticamente la fórmula conocida de un modelo más simple.

El error estándar de la media es σ/√n, pero un nuevo dato conserva su variación individual σ. Un intervalo de predicción debe incluir ambas fuentes. Bajo normalidad iid y σ desconocida, el pivote usa (Xnuevo−X̄)/(S√(1+1/n)) de ley tn−1.

El intervalo predictivo es X̄±t S√(1+1/n), más ancho que X̄±t S/√n para la media. El nuevo dato debe pertenecer al mismo modelo y ser independiente de la muestra; no se usa esta fórmula para cualquier dependencia temporal.

Muchos intervalos individuales del 95 % no garantizan cobertura conjunta del 95 %. Si los diez sucesos de cobertura fueran independientes, la conjunta sería 0,95¹⁰. Sin independencia, no se multiplica automáticamente.

Bonferroni controla cada fallo por α/m y suma las cotas: la probabilidad de algún fallo es ≤α, y la cobertura simultánea al menos 1−α. También un intervalo puede obtenerse como los parámetros que no rechaza una familia de contrastes compatibles; no rechazar no equivale a demostrar verdad.