Sigma-álgebras y espacios medibles

X es el universo de puntos.

Una familia Σ reúne subconjuntos: sus elementos son conjuntos, no puntos. Escribimos x∈A para un punto y A∈Σ para un conjunto admitido. P(X), el conjunto potencia, reúne todos los subconjuntos posibles.

Un espacio medible es el par (X,Σ), con Σ una sigma-álgebra. Todavía no hay longitudes ni probabilidades: medible significa que el conjunto pertenece a la familia elegida. La medida se añadirá como un tercer dato.

Una sigma-álgebra sobre X contiene X; con cada A contiene su complemento X∖A; y con cada lista A₁,A₂,… contiene la unión de toda la lista. Como ∅ es complemento de X, también contiene el vacío. Las uniones finitas son un caso particular, completando la lista con vacíos.

También contiene intersecciones numerables por De Morgan: intersectar Aₙ equivale a complementar la unión de sus complementos.

Todos los complementos se toman en el mismo universo.

Numerable permite una lista finita o una lista indexada por los naturales. La definición no exige cierre bajo todas las uniones arbitrarias. En particular, escribir un conjunto como unión de todos sus puntos no lo convierte automáticamente en medible cuando esa lista no es numerable.

Una álgebra de conjuntos exige solo uniones finitas y complementos. Una sigma-álgebra añade las uniones numerables. Esta diferencia importa: algo puede funcionar para cada operación finita y fallar al reunir una lista infinita.

La sigma-álgebra trivial {∅,X} solo admite las preguntas nada y todo. P(X) es la mayor posible. Entre ambas hay familias que distinguen grupos enteros sin separar sus miembros.

En un universo finito o numerable, si todos los singletons pertenecen a Σ, cualquier subconjunto es una unión numerable de ellos y pertenece a Σ. En un universo no numerable ese argumento ya no obliga a incluir todos los subconjuntos.

Dada una familia inicial G, σ(G) es la menor sigma-álgebra que la contiene. Se define como la intersección de todas las candidatas. Siempre hay alguna: P(X). Intersectarlas conserva los tres axiomas y elimina los conjuntos que no son obligatorios.

Para calcularla en un caso finito probamos dos cosas: nuestra familia propuesta es una sigma-álgebra que contiene G; y todo miembro de la propuesta tiene que estar en cualquier candidata. Solo encontrar una familia grande que contenga G no prueba minimalidad.

En un universo finito, agrupamos dos puntos cuando ningún conjunto de Σ los distingue. Cada bloque resultante es medible: puede construirse intersectando los miembros de Σ que contienen a un punto. Como la familia es finita, esa intersección usa solo finitas operaciones.

Estos bloques no vacíos son los átomos: no tienen un subconjunto medible propio no vacío. Todo conjunto medible es una unión de átomos. Con k átomos hay 2ᵏ uniones, porque cada bloque se incluye o se excluye.

La sigma-álgebra de Borel B(ℝ) es σ de los abiertos usuales. Contiene abiertos, sus complementos cerrados, intervalos y combinaciones numerables. No se identifica con el conjunto de todos los subconjuntos de ℝ.

Basta generar con intervalos abiertos de extremos racionales: son una familia numerable y todo abierto es unión de los de esa base que contiene. La numerabilidad permite pasar de una unión topológica a una unión admitida por una sigma-álgebra.

Para f:(X,Σ)→(Y,T), medible significa que para cada conjunto permitido B en Y, su preimagen f⁻¹(B)={x:f(x)∈B} pertenece a Σ. No hace falta que f tenga una función inversa; estamos buscando todos los puntos cuya salida cae en B.

Las preimágenes conservan complementos y uniones. Por eso basta comprobar un conjunto de generadores de T: los conjuntos cuya preimagen es medible forman una sigma-álgebra. No sustituimos preimagen por imagen directa en la definición.

Es una sigma-álgebra sobre Y, aunque Y no pertenezca a Σ.

En dos espacios medibles, Σ⊗T es la sigma-álgebra generada por rectángulos A×B con A∈Σ y B∈T. Esta construcción decide conjuntos permitidos del producto; todavía no asigna una medida producto ni afirma que todo subconjunto sea medible.