Distribuciones conjuntas y transformaciones

El vector (X, Y) es una función medible con valores en R². Su ley responde preguntas sobre rectángulos y otras regiones, como X+Y≤s.

En el caso discreto sumamos masas de pares.

Si existe una densidad conjunta f≥0 con integral doble uno, P((X, Y)∈R) es su integral sobre R. Tener marginales con densidad no garantiza una densidad bidimensional: una relación determinista puede concentrar toda la masa en una curva de área cero.

Se elimina una coordenada acumulando todas sus posibilidades. Tonelli justifica estas integraciones no negativas y que las marginales integren uno.

Una densidad constante dentro del triángulo no produce dos marginales constantes.

X, Y son independientes si P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B) para todos los borelianos A, B. Si existen densidades, equivale a f(x, y)=fₓ(x)fᵧ(y) casi en todas partes, tomando cada función cero fuera de su soporte.

No basta una igualdad en un punto. Tampoco basta que la densidad conjunta sea constante: una región triangular puede imponer una restricción entre las dos variables. Las marginales por separado no describen esa relación.

Con conjunta y fₓ(x)>0, una versión de la densidad de Y dado X=x es f(y|x)=f(x, y)/fₓ(x). Integra uno en y. Esta fórmula describe la distribución sobre una sección del soporte.

No es P(Y∈B, X=x)/P(X=x): para una X absolutamente continua ese cociente sería 0/0. Es una versión de distribución condicionada definida para casi todo x relevante. Donde fₓ=0, esta fórmula no fija un valor y no se divide.

En el caso discreto se suman masas de todas las preimágenes. En el continuo se identifica primero el conjunto de valores de X que conduce al resultado.

El método no necesita una inversa global. Permite descubrir el soporte y los posibles saltos antes de derivar. Una transformación no crea ni destruye masa total: la redistribuye en otra escala o agrupa valores que antes distinguíamos.

Si Z=T(W) y T es una biyección C¹ entre regiones con inversa C¹ y determinante no nulo, el cambio de variables da fz(z)=fw(T⁻¹z)|det DT⁻¹(z)|. El soporte también se transforma. El valor absoluto elimina el signo de orientación.

La razón geométrica es conservación de masa: una pequeña región ampliada a un área mayor debe recibir una densidad menor. Se usa el determinante de la inversa, o el recíproco absoluto del directo evaluado en la preimagen.

Para y=h(x) con ramas monótonas regulares, cada raíz xᵢ con h(xᵢ)=y aporta fₓ(xᵢ)/|h′(xᵢ)|. Se suman las contribuciones de las raíces que realmente están en el soporte. La fórmula vale en valores regulares y representa la densidad casi en todas partes.

Los puntos críticos requieren cuidado: una densidad transformada puede crecer sin límite cerca de ellos y seguir siendo integrable. Si h aplasta un intervalo de masa positiva en un solo punto, también puede aparecer un átomo, fuera de una descripción puramente por ramas regulares.

S=X+Y reduce dos coordenadas a una, así no es una biyección bidimensional por sí sola. Añadimos V=X: la inversa es x=v, y=s−v y su determinante absoluto vale uno.

Solo si X e Y son independientes podemos factorizar f(v, s−v)=fₓ(v)fᵧ(s−v), obteniendo convolución. El tramo de integración satisface simultáneamente los dos soportes. Con leyes singulares se vuelve a la distribución o a otro método que no suponga densidad conjunta.

Para la suma de dos uniformes independientes en [0,1], la densidad sube de cero a uno y vuelve a cero en dos. Las dos mitades tienen área 1/2.

La distribución de una suma tampoco determina toda la dependencia. Algunas leyes conjuntas diferentes pueden producir la misma suma. Para demostrar independencia hay que comprobar la ley conjunta completa, como hicimos antes.

Siempre se especifica soporte, no negatividad e integral uno. Las marginales también deben normalizarse. Un determinante invertido o una raíz olvidada suele fallar en ese control, antes de cualquier cálculo de probabilidad posterior.

Los cambios que reducen dimensión y las relaciones deterministas no se fuerzan dentro de la fórmula de una biyección. Se escoge el método según la ley disponible: sumas de masas, acumuladas, densidad conjunta regular o una descripción singular.