Teorema central del límite y procesos elementales

Para iid de media μ y varianza finita positiva σ², la media tiene desviación σ/√n. El error sin reescalar se hace pequeño por grandes números. Dividir por esa desviación mantiene una escala de fluctuación no degenerada.

El TCL iid afirma Zₙ=√n(media−μ)/σ converge en distribución a N(0,1). Es lo mismo que (suma−nμ)/(σ√n). Se resta el centro antes de dividir. Esas expresiones normalizan media y suma, de forma equivalente pero con denominadores diferentes.

El enunciado iid supone independencia mutua, igual distribución y varianza finita positiva. No exige observaciones normales. Si ellas ya son normales, la media tiene exactamente ley N(μ, σ²/n) para cada n; en otros casos se habla de aproximación asintótica.

No existe un tamaño universal, como n=30, que garantice una precisión fijada para todas las leyes del teorema. Una probabilidad de éxito muy pequeña puede dejar un gran salto de probabilidad aun con ese tamaño. También importa qué cola y qué intervalo se aproximan.

El segundo momento finito permite justificar el resto de Taylor por convergencia dominada con una cota proporcional a Y².

Por independencia, la característica de (Y₁+…+Yₙ)/√n es φ(t/√n)ⁿ.

El teorema de continuidad de Lévy convierte ese límite, continuo en cero, en convergencia de leyes a la normal estándar. Ese último teorema es el puente analítico usado en esta prueba.

Para dos límites, se transforman ambos y se restan acumuladas. Un valor z representa distancia en errores estándar, no una altura ni una probabilidad.

Con tercer momento absoluto finito, Berry–Esseen acota el error uniforme de la acumulada por C·E|X−μ|³/(σ³√n), para una constante universal C. La forma indica que asimetría y colas pueden retrasar la aproximación. Sin esa hipótesis, el TCL básico no ofrece por sí solo esa tasa.

Para S binomial(n, p), la media es np y la varianza np(1−p). Al aproximar un intervalo de enteros a≤S≤b, la corrección de continuidad usa la franja normal de a−1/2 a b+1/2 antes de estandarizar.

Es un ajuste de la representación discreta por áreas continuas, no un teorema universal de precisión. Revisar np y n(1−p) ayuda a detectar un reparto muy asimétrico. Si se necesita precisión y la ley binomial es conocida, se puede calcular su suma exacta.

Un proceso {Xt} es una familia de variables indexadas por tiempo. Con ω fijo, t↦Xt(ω) es una trayectoria. Sus distribuciones conjuntas entre tiempos determinan relaciones que las leyes marginales aisladas no revelan.

El incremento entre s y t es Xt−Xs. Tiene distribución estacionaria de incrementos si esa ley solo depende de t−s. Incrementos en intervalos disjuntos pueden ser independientes, pero esa es una condición adicional. No se confunde con que cada Xt tenga la misma ley.

Si los pasos son iid con media m y varianza v finita, ESₙ=nm y Var(Sₙ)=nv.

Los pasos independientes no hacen independientes a S₃ y S₈: ambos contienen los tres primeros pasos.

El TCL normaliza una posición en un tiempo grande; aproximar una trayectoria completa requiere un teorema funcional adicional.

Un proceso de Poisson homogéneo de tasa λ>0 empieza en N₀=0 y tiene incrementos independientes en intervalos disjuntos, con Nt−Ns de ley Poisson(λ(t−s)). En su versión habitual, las trayectorias son escalonadas, no decrecen y saltan de uno en uno.

Un conteo de duración h tiene media y varianza λh. λ mide llegadas por tiempo y λh es un parámetro de conteo. Aunque sus incrementos sean estacionarios, Nt no es estacionario: ENt=λt crece con el tiempo. El dibujo es una trayectoria ilustrativa, no una forma obligatoria ni una estimación automática de tasa.

Las esperas sucesivas son iid exponenciales en este modelo y su media es 1/λ.

Tasa variable, llegadas agrupadas o dependencia temporal pueden requerir otro proceso. Igual ocurre con el TCL: dependencia fuerte o varianza infinita quedan fuera de su enunciado iid usual. Identificar las hipótesis precede a sustituir números en una fórmula.