Teorema chino del resto

x≡a módulo m describe a+mℤ. Pedir varias congruencias busca su intersección. Puede estar vacía o ser otra progresión. La solución normalmente es una familia infinita de enteros, no un número aislado.

En un calendario, el módulo es duración del ciclo y el resto es fase. El mcm de duraciones no decide por sí solo la primera coincidencia cuando las fases son distintas. Primero hallamos una posición compatible y después el período de repetición.

Para módulos m₁,…,mᵣ≥2 coprimos dos a dos, existe una única clase x módulo M=m₁…mᵣ con los restos indicados. Los restos no necesitan ser coprimos con sus propios módulos.

Coprimos dos a dos no significa solo mcd de todos igual a uno. Los módulos 4,6,9 tienen mcd global uno, pero cuatro y seis comparten dos y seis y nueve comparten tres. La construcción requiere que cada módulo sea coprimo con el producto de los otros.

La coprimalidad da un inverso uᵢ de Mᵢ módulo mᵢ.

En su propio módulo eᵢ vale uno; en cualquier otro, Mᵢ contiene ese módulo como factor y eᵢ vale cero.

Los selectores funcionan como coordenadas de los restos. No buscamos un único número que sea uno en todos los módulos, sino uno por cada condición. Euclides extendido calcula los inversos y cualquier representante de estos sirve.

En el módulo mₖ todos los términos se hacen cero salvo aₖeₖ, que vale aₖ. Así se cumplen todas las condiciones a la vez. Después podemos reducir la suma módulo M.

Cambiar uᵢ por uᵢ+t mᵢ altera eᵢ en un múltiplo de M, y por tanto no cambia la clase solución. La fórmula produce un entero concreto, pero el objeto final sigue siendo su clase completa.

Si x,y cumplen el sistema, cada mᵢ divide x−y. La coprimalidad dos a dos obliga a que su producto M divida esa diferencia, por factorización prima o cancelación de factores coprimos. Por eso x≡y módulo M.

Sumar M a una solución conserva todos los restos. Si los módulos comparten factores, solo podemos asegurar divisibilidad por su mcm; el producto puede ser un período válido, pero no el mínimo ni dar una única clase de todas las soluciones.

La segunda condición x≡b módulo n se convierte en mk≡b−a módulo n. Si m,n son coprimos, invertimos m y obtenemos una sola clase de k módulo n.

Podemos incorporar una tercera condición repitiendo el proceso con el período que ya hemos reconstruido. Es el mismo teorema con otro método de cálculo.

Para dos módulos m,n y d=mcd(m,n), un sistema con restos a,b solo puede funcionar si a≡b módulo d. Toda solución sería congruente con ambos en ese divisor compartido. La condición es necesaria.

La teoría lineal da solución exactamente si d divide b−a. Dividimos por d y resolvemos con módulo n/d; si este es uno, la condición reducida ya es automática y no exige buscar inversos.

Tras resolver la congruencia reducida para k, su período es n/d.

Dos soluciones también difieren en un múltiplo de ambos módulos y, por tanto, del mcm: queda probada la unicidad de esa clase.

Para varios módulos generales se pueden combinar pares sucesivamente, comprobando compatibilidad en cada paso. Si una condición ya está contenida en otra, el nuevo período puede no aumentar. No se multiplican módulos sin revisar sus factores comunes.

La aplicación [x] módulo M a sus clases módulo cada mᵢ conserva ambas operaciones. Con módulos coprimos dos a dos, el teorema la hace biyectiva: ℤ/Mℤ es isomorfo al producto de esos anillos. Podemos calcular en componentes y reconstruir.

Un producto de cuerpos no es en general cuerpo. Los selectores revelan divisores de cero: una clase activa una componente y otra activa la componente restante; su producto puede ser cero aunque ninguna clase sea cero.