Homotopía y grupo fundamental

f,g:A→X son homotópicas si existe H:[0,1]×A→X continua con H(0,a)=f(a) y H(1,a)=g(a). s controla el avance de la deformación y a sigue siendo el punto de entrada. Se exige continuidad conjunta, no solo describir por separado un movimiento para cada punto.

Para caminos γ,η de a a b, una homotopía relativa a extremos conserva H(s,0)=a y H(s,1)=b para todo s. Además cada punto de la deformación debe permanecer en X. Una fórmula válida en el plano puede dejar de serlo al quitar un punto del plano.

Dos lazos representan la misma clase si se deforman manteniendo ambos extremos en x₀ para todo s. La clase incluye muchas maneras de recorrer y deformar una trayectoria.

Un lazo nulo-homotópico se deforma al constante en x₀. No se exige que la imagen sea una circunferencia simple, ni que evite cruces, ni que tenga derivadas. Recorrer la misma imagen varias veces puede dar clases diferentes, porque la clase conserva información del recorrido y del espacio permitido.

Para lazos γ,η con la misma base, definimos γ*η como γ(2t) en la primera mitad y η(2t−1) en la segunda. Las dos fórmulas dan x₀ en el empalme y son continuas por pegado de dos mitades cerradas.

Si deformamos γ y η mediante homotopías basadas, concatenamos las dos deformaciones con la misma división temporal. Coinciden en todo el borde de empalme, así la homotopía conjunta sigue siendo continua. Por eso el producto [γ][η]=[γ*η] está bien definido para clases, independientemente del representante elegido.

Las dos asociaciones de tres lazos reparten el tiempo de modo distinto. (γ*η)*ζ usa duraciones 1/4,1/4,1/2; γ*(η*ζ) usa 1/2,1/4,1/4. Podemos variar continuamente las duraciones como (1+s)/4,1/4,(2−s)/4 y recorrer cada lazo en su tramo. Permanecen positivas y los empalmes están en la base: da una homotopía basada y prueba asociatividad en clases.

El lazo constante es neutro en clases, pues la espera puede acortarse continuamente.

El recorrido de ida y vuelta se contrae retirando progresivamente su parte más lejana. Estas propiedades hacen de las clases el grupo fundamental π₁(X,x₀).

Empieza en γ, acaba en la constante y deja fijos los extremos porque γ(0)=γ(1)=x₀. Además C es conexo por caminos. Su grupo fundamental es trivial y se dice que es simplemente conexo.

Un espacio contráctil tiene su identidad homotópica a una aplicación constante. Esto implica conexión por caminos y grupos fundamentales triviales; la contracción general puede mover la base y se compensa con el camino que esta recorre. La implicación inversa falla: la esfera S² es simplemente conexa y no contráctil.

Detectar su obstrucción requiere información de dimensión superior a los lazos.

Usamos p:ℝ→S¹, p(u)=e^(2πiu). u mide vueltas completas; no es un ángulo en radianes. En un arco pequeño del círculo podemos escoger un ángulo continuo. Dado un camino basado en uno, fijamos θ(0)=0 y prolongamos ese ángulo por tramos, sumando enteros al cambiar de rama para mantener continuidad.

La continuidad uniforme en el intervalo permite subdividir el recorrido en finitos tramos que caben en arcos pequeños; fijado el valor inicial, sus ángulos se pegan de una sola manera.

El teorema de levantamiento de homotopías permite elegir θ conjuntamente continuo durante una homotopía basada. El entero final depende continuamente de s y no puede saltar entre enteros. Por eso el número de vueltas con signo es invariante de la clase. No bastaría observar que cada lazo aislado tiene algún ángulo: necesitamos la continuidad conjunta del levantamiento.

Si dos lazos tienen el mismo grado n, sus levantamientos θ₀,θ₁ empiezan en cero y terminan en n. H(s,t)=p((1−s)θ₀(t)+sθ₁(t)) los deforma continuamente, fijando los extremos porque p(0)=p(n)=1.

En una concatenación, el segundo levantamiento empieza en el entero donde terminó el primero. Su incremento se suma y el grado total es n+m. Tenemos un isomorfismo π₁(S¹,1)≅(ℤ,+). Grados distintos no son homotópicos por invariancia, y grados iguales sí lo son por la interpolación. Un lazo del círculo se contrae exactamente cuando su grado es cero.

Las homotopías también se componen con f, así está bien definido y conserva producto, neutro e inversos. Un homeomorfismo induce un isomorfismo porque la función inversa induce el homomorfismo inverso.

Si c va de x₀ a x₁, un lazo α basado en x₁ se lleva a x₀ con c*α*c̄. El camino inverso da el isomorfismo inverso, usando las contracciones de ida y vuelta. Elegir otro c puede cambiar el isomorfismo por una conjugación: en un espacio conexo por caminos el tipo de grupo es el mismo, pero la identificación concreta no siempre es canónica.

En ℝ²∖{0}, H(s,x)=((1−s)+s/‖x‖)x lleva cada punto al círculo unidad y fija ese círculo. El radio pasa de r a (1−s)r+s, siempre positivo. Es una retracción por deformación. La inclusión y la retracción son inversas salvo homotopía, así inducen isomorfismos: el plano perforado tiene grupo fundamental ℤ.

Van Kampen reúne dos abiertos U,V conexos por caminos que cubren X, con intersección no vacía y conexa por caminos, y base en ella. Combinamos los grupos de U y V respetando sus leyes e identificando las dos imágenes de cada lazo de la intersección. Es un teorema de pegado; sus hipótesis permiten organizar los recorridos por las dos regiones.

El resultado puede ser no abeliano. La cantidad de agujeros dibujada no reemplaza el cálculo ni convierte todos los grupos en sumas de enteros. Además, el grupo fundamental solo recoge una parte de la topología: espacios no homeomorfos pueden tener el mismo grupo.