Separación, numerabilidad y metrizabilidad

T₁ significa que cada singleton {x} es cerrado. Equivale a: para x distinto de y existe un abierto que contiene x y no contiene y. La equivalencia se comprueba tomando complementos de singletons y uniendo los abiertos que excluyen al punto fijado.

Hausdorff pide más: dos puntos distintos tienen entornos abiertos disjuntos. Implica T₁, pues cada punto distinto de y tiene un entorno que evita y y su unión es X∖{y}. La implicación inversa falla en espacios infinitos; evitar un punto no garantiza evitar todo un entorno suyo.

Aquí llamamos regular a un espacio donde, dados un punto x y un cerrado C que no lo contiene, hay abiertos disjuntos U,V con x∈U y C⊂V. Algunos libros incluyen T₁ en la palabra; aquí lo indicaremos por separado.

Normalidad exige separar dos cerrados disjuntos mediante abiertos disjuntos. El lema de Urysohn afirma que, en un espacio normal, dos cerrados disjuntos pueden distinguirse con una función continua a [0,1] que vale cero en uno y uno en otro. El lema es una herramienta que usaremos para construir coordenadas; su demostración organiza abiertos anidados con índices diádicos.

En un métrico, las funciones de distancia a un conjunto no vacío son continuas: |d(x,C)−d(y,C)|≤d(x,y), por la triangular e infimos. Para cerrados disjuntos C,D, la función d(x,C)/(d(x,C)+d(x,D)) está definida en todo punto y separa los dos. El denominador es positivo punto a punto, aunque la distancia global entre C y D pueda ser cero.

Esta prueba no necesita rectas, coordenadas ni dimensión.

Para separar x de un cerrado C que no lo contiene, el complemento abierto da un r>0 con B(x,r) disjunta de C.

Si un punto estuviera en ambos, algún c quedaría a distancia menor que 2r/3 de x, contradicción. Así todo métrico es regular y T₁. La separación por funciones de distancia de la sección anterior también da normalidad.

En un Hausdorff escogemos abiertos disjuntos U de x y V de y. La primera convergencia obliga a estar finalmente en U; la segunda, finalmente en V.

A partir del mayor de los dos índices, el mismo término debería pertenecer a U∩V, que es vacío. Por eso el límite es único. Es una prueba topológica: no usa un valor numérico de distancia. La unicidad de límites de sucesiones no debe confundirse automáticamente con una caracterización de Hausdorff en toda topología.

Una base local en x es una familia de entornos que refina cualquier entorno suyo. Primera numerabilidad permite elegir una familia numerable para cada punto. En un métrico basta B(x,1/n): dado radio ε>0, existe n con 1/n<ε.

Si la base local no es decreciente, reemplazamos U₁,U₂,… por las intersecciones U₁∩…∩Uₙ. Esto permite caracterizar clausura mediante sucesiones: si x∈cl A, elegimos aₙ en A dentro del n-ésimo entorno decreciente. Cada entorno de x acaba conteniendo todos los aₙ. La prueba usa solo primera numerabilidad, además de los axiomas topológicos.

Una base global ℬ={B₁,B₂,…} hace al espacio segundo numerable. Las piezas que contienen a un punto dan una base local, así implica primera numerabilidad. También implica separabilidad: elegimos un punto de cada pieza no vacía y obtenemos un conjunto numerable D.

Para probar que D es denso, cualquier abierto no vacío contiene una pieza básica no vacía y por tanto el punto elegido de esa pieza. Así todo abierto toca D. Esto no exige que todos los puntos del espacio sean elegidos ni numerables.

D es denso en X si su clausura es X, equivalentemente si toca cada abierto no vacío. Separabilidad pide poder escoger ese D numerable. En ℝ usual, ℚ lo cumple porque todo intervalo abierto contiene un racional, aunque ℝ sea no numerable.

Un denso no necesita contener todos los límites de sus sucesiones. Precisamente los puntos que faltan pueden aparecer como límites de sus aproximaciones. En topología general, separabilidad sola no implica segunda numerabilidad; la relación se vuelve más fuerte al disponer de una métrica.

Sea D denso numerable. Consideramos bolas con centros en D y radios racionales positivos: es una familia numerable.

Elige racional r entre d(x,d) y ε−d(x,d), intervalo no vacío.

La familia es base. Unido a la implicación general de antes, en métricos separabilidad y segunda numerabilidad son equivalentes.

El teorema de metrización de Urysohn afirma: regular, T₁ y segundo numerable implican metrizable. No se omite ninguna de esas hipótesis. La segunda numerabilidad permite reducir toda cubierta abierta a una subcubierta numerable: se selecciona un miembro por cada pieza básica que quepa en él. Esta propiedad se llama Lindelöf.

Regularidad y Lindelöf dan normalidad. La idea es cubrir cada uno de dos cerrados disjuntos por una lista de abiertos cuyas clausuras eviten al otro, y quitar sucesivamente las clausuras de la lista opuesta para obtener abiertos disjuntos. Con el lema de Urysohn construimos funciones continuas entre cero y uno.

Más concretamente, para cada par de piezas con cl Bₘ⊂Bₙ, elegimos una función que valga uno en cl Bₘ y cero fuera de Bₙ. Hay solo una lista numerable f₁,f₂,… de tales funciones. Regularidad garantiza que, para x∈U abierto, alguna tiene fⱼ(x)=1 y se anula fuera de U.

Por eso distinguen puntos y detectan entornos.

La serie converge y cumple triangular; distinguir puntos asegura d>0 cuando son distintos. Para un abierto U de x, la función anterior obliga a que la bola de radio 2^(−j)/2 quede en U. En la otra dirección, continuidad de finitas coordenadas y una cola de serie pequeña dan un entorno original dentro de cada bola.

Así la métrica produce exactamente los abiertos originales. La construcción usa los lemas de separación indicados, no solo una suma formal.

Su base está formada por intervalos [a,b), con a<b. Las intersecciones no vacías vuelven a tener esa forma, así cumple la condición de base. En x, los intervalos [x,x+1/n) refinan cualquier entorno; es primera numerable. También es separable: cada intervalo básico contiene algún racional.

No es segunda numerable. Si ℬ fuera una base, para cada real x elegiríamos Bₓ con x∈Bₓ⊂[x,x+1). Esa pieza tiene mínimo x. Dos puntos distintos no pueden compartirla, porque una misma pieza no puede tener dos mínimos. Harían falta tantas piezas como reales.

Si fuera metrizable, su denso numerable forzaría segunda numerabilidad por la prueba métrica anterior, contradicción. Así primera numerabilidad y separabilidad juntas todavía no sustituyen las hipótesis del criterio.