Pon tres objetos sobre una mesa. Antes de escribir un número, vamos a decidir qué contamos, a señalar cada objeto y a comprobar que no repetimos ninguno. Después veremos cómo expresar una mesa sin objetos y por qué moverlos no cambia la cantidad.
1. Contar empieza por elegir el grupo
Si en una bandeja hay botones y una cuchara, la pregunta «¿cuántos botones hay?» se refiere solo a los botones. La cuchara y la bandeja no entran en esa cuenta. Decidir qué pertenece al grupo es el primer paso.
Después señalamos un objeto y decimos «uno»; otro distinto y decimos «dos»; seguimos con «tres», «cuatro»… Una palabra para cada objeto. Para recordar por dónde vamos, podemos desplazar lo contado a otro lado. No empezamos diciendo cero al primer objeto: ese primero ya es uno.
Dos fichas, dos señalamientos
Hay dos fichas en el marco. Cuenta las fichas.
Delimitamos el grupo
Miramos dentro del marco. Allí están las dos fichas que queremos contar.
Asignamos una palabra a cada una
Señalamos la ficha de la izquierda: «uno». Pasamos a la otra: «dos». No volvemos a señalar la primera.
Paramos cuando no queda ninguna
Las dos tienen su palabra. El conteo termina en dos.
Hay 2 fichas.
Podemos apartar una ficha con cada palabra: después de «dos» no queda ninguna por apartar.
Un objeto cercano queda fuera
Dentro del marco hay cinco fichas y fuera hay un cuadrado. ¿Cuántas fichas hay dentro?
Leemos qué y dónde
Contamos fichas que están dentro del marco. El cuadrado exterior no cumple ninguna de esas dos condiciones.
Seguimos un recorrido
De izquierda a derecha decimos «uno, dos, tres, cuatro, cinco», tocando una ficha distinta cada vez.
Cerramos la cuenta
No añadimos una palabra por el cuadrado. Solo hay cinco objetos del grupo pedido.
Hay 5 fichas dentro.
Si saliera seis, habríamos contado algo ajeno al grupo o repetido una ficha.
2. La última palabra expresa el total
Al decir «uno, dos, tres», cada palabra acompaña a un objeto. Cuando ya los hemos señalado todos, la última palabra dice cuántos hay en el grupo completo. No describe solo al último objeto.
La cantidad puede decirse con una palabra y escribirse con un símbolo: «tres» se escribe 3. Ese símbolo se llama cifra. Para responder a «¿cuántos libros?», escribimos «3 libros». La lista de palabras sirve para contar; el último número sirve para comunicar el resultado.
De la lista a la respuesta
Al contar llaves has dicho «uno, dos, tres, cuatro». ¿Qué escribes como cantidad?
Encontramos la última palabra
El recorrido termina en «cuatro» y ya no queda ninguna llave sin señalar.
Escribimos el número
Cuatro se escribe 4. No escribimos 1, 2, 3, 4 como respuesta a la cantidad: esa era la lista del conteo.
Hay 4 llaves.
Una marca por llave produce cuatro marcas; el 4 resume el grupo completo.
Volvemos del número al grupo
Una tarjeta pide 6 fichas. ¿Cómo preparas esa cantidad?
Construimos el grupo
Ponemos una ficha al decir «uno». Añadimos una distinta para «dos», «tres», «cuatro», «cinco» y «seis».
Nos detenemos en la cantidad pedida
Al decir «seis» dejamos de añadir. Una ficha más daría siete y ya no cumpliría la tarjeta.
Revisamos sin añadir
Contamos las seis que están sobre la mesa; no colocamos otras mientras comprobamos.
Preparamos 6 fichas.
La cuenta del grupo debe terminar en seis, exactamente como la tarjeta.
3. El número cuenta objetos, no su tamaño
Un botón grande cuenta como un botón. Uno pequeño también cuenta como uno. Si preguntamos cuántos botones hay, no damos más valor al grande por ocupar más espacio.
Dos grupos pueden representar el mismo número aunque tengan objetos distintos: tres llaves y tres vasos tienen cantidad tres. Esto no afirma que pesen lo mismo ni que sirvan para lo mismo. Estamos fijándonos únicamente en cuántos hay.
Grandes y pequeños
Hay un botón grande y dos pequeños. ¿Cuántos botones contamos?
Elegimos una unidad de conteo
Cada botón es un objeto del grupo, con independencia de su tamaño.
Contamos sin dar valor doble al grande
Señalamos el grande: uno. Los pequeños: dos y tres.
Hay 3 botones.
La cuenta usa tres objetos, no la superficie que ocupan.
Objetos distintos, misma cantidad
En un lado hay cuatro vasos y en otro cuatro llaves. ¿Tienen la misma cantidad de objetos?
Contamos cada grupo por separado
Los vasos terminan en cuatro. Las llaves también terminan en cuatro.
Revisamos haciendo parejas
Ponemos una llave junto a cada vaso. Ninguno queda sin pareja.
Precisamos lo que hemos comparado
Coincide el número de objetos. No hemos comparado el peso ni el tamaño de esos objetos.
Sí: cada grupo tiene 4 objetos.
Cuatro parejas utilizan todos los vasos y todas las llaves.
4. Cero significa que el grupo está vacío
Observa una caja sin canicas dentro. No hay una primera canica que señalar. Decimos «cero canicas» y escribimos 0. El cero permite responder a «¿cuántas?» también cuando no hay ninguna.
La caja puede existir y estar sobre la mesa; eso no la convierte en una canica. Además, cero se refiere al grupo que nos preguntan: puede haber cero canicas dentro y varias fuera. Para elegir entre 0 y 1, comprueba si realmente hay un objeto del tipo pedido en el lugar pedido.
Un plato sin galletas
En un plato no queda ninguna galleta. ¿Cuántas galletas quedan?
Buscamos un primer objeto
Miramos el plato. No podemos señalar una primera galleta porque no hay ninguna.
Nombramos el grupo vacío
La cantidad de galletas es cero. Escribimos 0 y añadimos qué estamos contando.
Quedan 0 galletas.
Contar el plato como «una galleta» confundiría el recipiente con su contenido.
Vacío dentro, ocupado fuera
Hay una caja vacía y dos canicas al lado. ¿Cuántas canicas hay dentro de la caja?
Respetamos el lugar de la pregunta
La pregunta dice «dentro». Las dos canicas de fuera no pertenecen a ese grupo.
Describimos el interior
Dentro no hay ninguna. La respuesta es cero aunque en la escena completa sí haya canicas.
Imaginamos una comprobación
Si metiéramos una canica, habría una dentro. Todavía no lo hemos hecho: sigue habiendo cero.
Dentro hay 0 canicas.
«Dos fuera» y «cero dentro» pueden ser ciertos al mismo tiempo.
5. Recolocar no cambia cuántos hay
Pon cuatro fichas en fila. Después acércalas o colócalas en dos filas. Son las mismas cuatro: no hemos añadido ni retirado ninguna. Podemos contarlas en otro recorrido para comprobarlo.
Una fila más larga puede tener más huecos entre fichas y la misma cantidad. El espacio ocupado no es una manera segura de contar. También podemos empezar por otro objeto: cambia el orden de los señalamientos, pero el total se conserva si cada objeto aparece una sola vez.
La fila se alarga
Cinco fichas estaban juntas y ahora están más separadas. ¿Cuántas hay?
Identificamos el cambio
Solo hemos movido las fichas. No ha entrado ni salido ninguna.
Comprobamos la cantidad
Las contamos de izquierda a derecha: uno, dos, tres, cuatro, cinco. Los huecos no reciben número.
Siguen siendo 5 fichas.
Una ficha por palabra y ninguna palabra por los espacios.
Otro recorrido por el mismo grupo
Colocas seis fichas en dos filas de tres. Alguien dice que ahora son dos porque ve dos filas. ¿Qué contarías?
Distinguimos fichas y filas
La pregunta se refiere a fichas. Cada fila reúne varias; no la tratamos como si fuera una sola ficha.
Recorremos todos los objetos
Contamos las tres de arriba: uno, dos, tres. Continuamos por las de abajo: cuatro, cinco, seis.
Revisamos el supuesto error
Dos es la cantidad de filas. Seis es la cantidad de fichas: responden a preguntas distintas.
Hay 6 fichas.
Podemos volverlas a poner en una fila y obtener seis otra vez.
6. Una ficha nueva lleva al número siguiente
La lista que usaremos es 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Cuando añadimos exactamente un objeto al grupo, la cantidad pasa al número siguiente de esa lista.
Si sabemos con seguridad que había cuatro fichas, la nueva es la quinta. Podemos continuar diciendo «cinco», sin volver al uno. Al principio conviene volver a contar todo para comprobarlo. Si retiramos un objeto, vamos al número anterior; si solo lo movemos, la cantidad no cambia.
Desde un grupo ya contado
Tienes cuatro fichas y colocas una nueva. ¿Cuántas tienes ahora?
Partimos de una cantidad conocida
Las cuatro primeras ya están contadas. La ficha nueva no estaba incluida.
Avanzamos una vez
Después de cuatro viene cinco. La nueva cantidad es cinco.
Confirmamos desde el principio
Señalamos todas: uno, dos, tres, cuatro, cinco. La ficha nueva se ha contado una sola vez.
Ahora hay 5 fichas.
Decir «cuatro» para la ficha nueva repetiría el número del total anterior.
El primer cambio desde cero
Una caja contiene cero fichas. Metes una. Después metes otra. ¿Qué cantidades aparecen?
Primer objeto
Desde cero pasamos a uno al entrar la primera ficha.
Segundo objeto
Entra otra distinta. Después de uno viene dos. No empezamos de nuevo en cero.
Leemos el recorrido
Las cantidades fueron cero, una y dos. El primer objeto recibe la palabra «uno».
Las cantidades son 0, 1 y 2.
Dos entradas de una ficha producen un grupo que termina en dos al contarlo.
7. Comprobar es buscar repeticiones y olvidos
Si dos conteos dan respuestas distintas, no elegimos la que nos guste más. Organizamos los objetos y hacemos un recorrido que permita ver cuáles están contados y cuáles faltan.
También sirve colocar una marca o una ficha auxiliar por objeto. Cada objeto debe tener una marca y cada marca debe corresponder a un objeto. Sobrar una marca puede indicar una repetición; quedar un objeto sin marca indica un olvido. Reconocer de un vistazo un grupo pequeño puede ayudar, pero si dudamos lo contamos con calma.
Contar dos veces el mismo objeto
Hay cuatro fichas. Una persona señala la primera dos veces y acaba diciendo cinco. ¿Es correcto?
Localizamos el fallo
Ha asignado dos palabras a una sola ficha. El cinco obtenido no cuenta cinco objetos distintos.
Empezamos un recorrido limpio
Pasamos cada ficha de la zona pendiente a la zona contada. Cada traslado recibe una palabra.
Cerramos la revisión
Solo podemos trasladar cuatro fichas distintas. El conteo correcto termina en cuatro.
No: hay 4 fichas.
Deben existir tantos objetos distintos como palabras de conteo utilizadas.
Una ficha escondida en otra fila
Hay tres fichas en una fila y dos debajo. Cuentas solo la primera fila y respondes tres. ¿Cómo lo corriges?
Revisamos el grupo completo
La pregunta incluye las dos filas. Las fichas inferiores también pertenecen al grupo.
Seguimos por las pendientes
Tras uno, dos y tres, señalamos las dos de abajo: cuatro y cinco.
Comprobamos con marcas
Ponemos una marca junto a cada ficha. Ahora todas tienen una y ninguna tiene dos.
Hay 5 fichas.
La revisión comprueba que se cuentan todos los objetos una sola vez.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Contar los libros del dibujo
Cuenta los libros que aparecen en el dibujo. ¿Cuántos hay?
Decidimos qué se cuenta
La pregunta se refiere a los cuatro lápices sobre la mesa. No contamos la mesa.
Señalamos sin repetir
Tocamos un lápiz: uno; otro: dos; otro: tres; el que queda: cuatro. Apartamos cada uno después de señalarlo.
Respondemos y revisamos
La última palabra es cuatro: hay 4 lápices. Los colocamos en fila y contamos desde el extremo contrario; vuelve a salir cuatro.
Hay 4 libros.
Contar desde el otro extremo conserva la cantidad.
EJEMPLO RESUELTO 2
La caja vacía
Abres una caja y no hay ninguna canica dentro. ¿Cuántas canicas contiene?
Miramos dentro de la caja
La pregunta pide canicas interiores. La caja está vacía y no hay una primera canica que señalar.
Elegimos la cantidad del grupo vacío
Ninguna canica se expresa con cero; escribimos 0 canicas.
Distinguimos caja y contenido
La caja no es una canica. La cantidad pedida sigue siendo cero mientras no introduzcamos alguna.
La caja contiene 0 canicas.
Una caja vacía no contiene una canica: el recipiente no se cuenta como parte de su contenido.
Los símbolos que hemos usado
- Contar
- Asignar un número a cada objeto, en orden.
- Cantidad
- Cuántos objetos hay.
- Número
- Sirve para expresar una cantidad o una posición.
- 0
- Cero: en el grupo que miramos no hay objetos.
- Igual cantidad
- Dos grupos tienen tantos objetos uno como el otro.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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