Cuerpos geométricos y volumen

Mira una caja: puedes señalar una cara de delante, una de arriba y otra de un lado. Cada cara es plana, pero juntas rodean un cuerpo que tiene largo, ancho y alto. Una sola cara no es la caja completa.

En una hoja podemos representar esa profundidad con un dibujo oblicuo. Las líneas que parecen inclinadas ayudan a imaginar qué está detrás. El dibujo sigue siendo plano; el objeto representado es el que ocupa espacio. Por ahora idealizamos las cajas sin tener en cuenta el grosor del cartón.

Un cubo tiene seis caras: arriba, abajo, delante, detrás, izquierda y derecha. Cada una es un cuadrado del mismo tamaño. Aunque una vista muestre solo tres caras, el cuerpo completo tiene las seis.

Una arista es el segmento donde se encuentran dos caras. Un vértice es una esquina donde se reúnen aristas. Los puntos del dibujo señalan vértices; los trazos son aristas; las regiones planas son caras. No contamos estos tres tipos de elementos como si fueran lo mismo.

Para contar sin repetir: cuatro aristas rodean la cara superior, otras cuatro rodean la inferior y cuatro unen ambos niveles: 4 + 4 + 4 = 12. Hay cuatro vértices arriba y cuatro abajo: 8 en total.

La caja del dibujo mide 4 cm de largo, 2 cm de ancho y 3 cm de alto. Sus caras son rectángulos. Tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices, igual que un cubo, pero sus tres dimensiones no son iguales: por eso no es un cubo.

Esta caja es un prisma rectangular, también llamado ortoedro. Más generalmente, un prisma tiene dos bases poligonales iguales y paralelas unidas por caras laterales. Si las bases son triángulos, hablamos de prisma triangular. No todos los prismas tienen seis caras.

Una lata idealizada tiene forma de cilindro: dos bases circulares iguales y paralelas, y una superficie lateral curva. Un cono tiene una base circular y una superficie curva que llega a una punta. Una pelota idealizada tiene forma de esfera.

Aquí reservamos «arista» para segmentos donde se encuentran caras planas de un poliedro. Las uniones circulares del cilindro no son aristas rectas como las de una caja. Una esfera no tiene caras planas ni vértices. La línea discontinua de su dibujo ayuda a mostrar la curvatura; no es una costura del objeto.

El dibujo contiene seis cuadrados iguales unidos por lados. Imagina el cuadrado 3 como una base: los cuadrados 1, 2, 4 y 6 suben para formar cuatro paredes, y el 5 puede cerrar la parte restante. Esta plantilla se llama desarrollo del cubo.

El desarrollo es plano; el cubo que construimos al doblarlo es un cuerpo. Que haya seis cuadrados es necesario, pero no basta. Deben estar colocados de modo que al plegar no dejen huecos ni intenten ocupar la misma cara.

El área se medía con cuadrados. Para el volumen necesitamos cubos: piezas con anchura, profundidad y altura. Un cubo de 1 cm por cada lado ocupa 1 cm³, que se lee «un centímetro cúbico». El 3 recuerda las tres dimensiones de esa unidad.

En la caja del dibujo hay tres cubitos por fila y dos filas por capa.

Si cada uno ocupa 1 cm³, el volumen total es 12 cm³.

La cuenta 3 × 2 × 2 no aparece por casualidad: primero contamos una capa y después cuántas veces se repite. En una caja rectangular llena, volumen = largo × ancho × alto, usando la misma unidad de longitud para las tres medidas.

Un cubo de 2 cm por lado tiene una base con 2 × 2 = 4 cuadrados de 1 cm². Como tiene dos capas de 1 cm de altura, contiene 4 × 2 = 8 cubos de 1 cm³. El área de una cara y el volumen completo son medidas diferentes.

También podemos medir en m³: un metro cúbico ocupa lo mismo que un cubo de 1 m por lado. Como 1 m son 100 cm, ese cubo contiene 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cubos de 1 cm³. No cambiamos unidades cúbicas multiplicando una sola vez por cien.

En un dibujo de una caja llena, los cubitos de atrás y de abajo pueden quedar ocultos. Las dimensiones y la condición «completamente llena» permiten contarlos igualmente. No calculamos volumen contando solo los cuadrados que vemos en la superficie.

En una pila sin más datos, una vista puede ocultar huecos o piezas. Entonces debemos indicar qué sabemos y no inventar que todos los lugares están llenos. Un buen recuento describe filas y capas, o señala la información que falta.