Sumar y restar fracciones empieza con una pregunta: ¿estamos contando piezas del mismo tamaño? Si lo están, reuniremos o quitaremos piezas. Si no, construiremos una partición común sin alterar las cantidades. El dibujo explicará por qué cambia el numerador y cuándo se conserva el denominador.
Si necesitas repasar:
1. Sumar piezas iguales cambia cuántas hay, no su tamaño
Tomamos dos séptimos de una barra y añadimos otro séptimo de una barra idéntica. Reunimos tres piezas, y cada una sigue siendo un séptimo.
Sumamos numeradores y conservamos el denominador porque seguimos contando el mismo tipo de pieza. Si sumáramos también abajo, cambiaríamos el tamaño de cada pieza sin haber hecho nuevos cortes. Antes de aplicar la regla comprobamos que la unidad sea la misma.
Reunir novenos
Calcula 4/9 + 2/9.
Contamos partes del mismo tamaño
Son cuatro novenos y otros dos: seis novenos.
Simplificamos sin cambiar la cantidad
6/9 = 2/3 al dividir arriba y abajo entre tres.
El resultado es 6/9 = 2/3.
Cuatro piezas y dos piezas completan seis; el noveno no se convirtió en dieciochavo.
La suma puede nombrarse como una mitad
Calcula 1/8 + 3/8.
Sumamos las cantidades de octavos
1 + 3 = 4: quedan 4/8.Reconocemos una equivalencia
Cuatro de las ocho partes forman media unidad.
El resultado es 4/8 = 1/2.
Una de ocho partes más otras tres ocupan exactamente la mitad de la barra.
2. Restar retira piezas sin cambiar los cortes
Tenemos cinco séptimos y quitamos dos séptimos. Retiramos dos de las cinco piezas marcadas: quedan tres.
El denominador sigue siendo siete.
El orden importa: a la primera cantidad le quitamos la segunda.
Así reconstruimos la parte que teníamos, no necesariamente una unidad entera.
Retirar y simplificar
Calcula 7/10 − 3/10.
Quitamos tres de los siete décimos
7 − 3 = 4: quedan 4/10.Expresamos la misma cantidad con menos partes
4/10 = 2/5, dividiendo ambos números entre dos.
El resultado es 4/10 = 2/5.
4/10 + 3/10 = 7/10 devuelve lo que había.
Retirar toda la cantidad marcada
Calcula 3/8 − 3/8.
Identificamos lo que se retira
Se quitan las tres partes que estaban seleccionadas.
Contamos lo restante
No queda ninguna: 0/8 = 0.
La diferencia vale 0.
No queda 0/0: la partición seguía siendo en octavos.
3. Con tamaños distintos, traducimos antes de sumar
Una mitad y un tercio no son piezas iguales.
Ahora la suma cuenta tres sextos y dos más: 5/6.
El nuevo denominador debe servir a las dos fracciones. Al cambiar cada una, multiplicamos arriba y abajo por el mismo factor. Después aplicamos la regla de partes iguales. No es necesario cambiar una fracción que ya tenga el denominador elegido.
Dos particiones diferentes
Calcula 1/3 + 1/4.
Buscamos partes que sirvan a ambas
Usamos doceavos: 1/3 = 4/12 y 1/4 = 3/12.Reunimos las partes nuevas
4/12 + 3/12 = 7/12.
La suma es 7/12.
Un tercio y un cuarto equivalen respectivamente a cuatro y tres de las doce partes.
Una fracción ya tiene el tamaño elegido
Calcula 3/4 + 1/8.
Convertimos solo lo necesario
3/4 = 6/8; la segunda ya cuenta octavos.Sumamos
6/8 + 1/8 = 7/8.
El resultado es 7/8.
Falta un octavo para completar la unidad, coherente con el dibujo de siete piezas de ocho.
4. La resta también necesita piezas iguales
Para 1/2 − 1/6, escribimos la mitad como tres sextos.
El cambio de escritura conserva la mitad inicial.
No restamos denominadores ni tomamos el orden que resulte más fácil. Si empezábamos con una cantidad mayor y retiramos otra positiva menor, debe quedar una cantidad no negativa y menor que la inicial. Esa previsión ayuda a revisar.
Traducir el término que se retira
Calcula 5/6 − 1/3.
Expresamos tercios como sextos
1/3 = 2/6.Restamos en el orden original
5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
Queda 1/2.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 reconstruye el inicio.
Quitar una mitad de tres cuartos
Calcula 3/4 − 1/2.
Traducimos la mitad
1/2 = 2/4.Retiramos dos de tres cuartos
3/4 − 2/4 = 1/4.
El resultado es 1/4.
Ese cuarto más la mitad retirada vuelve a dar tres cuartos.
5. Una suma puede superar la unidad
Tres quintos y cuatro quintos reúnen siete: 3/5 + 4/5 = 7/5. Cinco quintos completan una unidad y todavía quedan dos quintos más.
El numerador puede superar al denominador. El denominador sigue indicando el tamaño de cada pieza, aunque necesitemos más de una barra para colocar todas. La escritura con un entero y una fracción se llama número mixto; aquí escribimos explícitamente el signo + para mostrar sus dos partes.
Reconocer una unidad y una parte
Calcula 5/8 + 7/8.
Contamos todos los octavos
5 + 7 = 12: tenemos 12/8.Separamos una unidad y simplificamos
8/8 forman uno y quedan 4/8 = 1/2.El resultado es 1 + 1/2.
12/8 = 3/2 = 1 + 1/2.
Un entero y una mitad contienen tres mitades en total.
Dos cantidades menores que uno pueden superar uno
Calcula 2/3 + 2/3.
Reunimos los tercios
2 + 2 = 4: la suma es 4/3.Agrupamos tres tercios en un entero
Queda 1 + 1/3.
El resultado es 4/3 = 1 + 1/3.
No es un fallo que el numerador sea mayor: se han reunido más de tres piezas de un tercio.
6. Un entero también se puede escribir con las piezas elegidas
Para calcular 2 − 3/4 necesitamos saber cuántos cuartos contienen dos unidades. Cada una contiene cuatro; dos contienen ocho.
El entero no se convierte colocando sin más el denominador debajo: 2/4 sería media unidad, no dos unidades. Para expresar un entero en quintos contamos cinco partes por unidad; en octavos, ocho, y así con la partición elegida.
Restar de una unidad completa
Calcula 1 − 3/8.
Nombramos el entero como octavos
1 = 8/8.Retiramos las tres partes
8/8 − 3/8 = 5/8.
Quedan 5/8.
Tres octavos retirados y cinco restantes completan ocho octavos.
Reunir un entero y una parte
Expresa 2 + 1/3 como una sola fracción.
Convertimos los enteros
Dos unidades contienen seis tercios: 2 = 6/3.Añadimos la parte restante
6/3 + 1/3 = 7/3.
2 + 1/3 = 7/3.
Seis tercios reconstruyen las dos unidades; el séptimo es la parte adicional.
7. Una revisión de tamaño se completa con una cuenta exacta
Al sumar dos cantidades positivas, el resultado debe superar a cada una. Si se propone 1/2 + 1/4 = 2/6, algo falla: dos sextos son un tercio, menor que la mitad de la que empezábamos. Sumar también los denominadores cambió indebidamente el tamaño de las piezas.
Esa revisión detecta el fallo, pero la cuenta correcta debe construir partes comunes: 1/2 = 2/4, así que la suma es 3/4. En una resta podemos devolver lo retirado para recuperar la cantidad inicial. Revisamos unidad, equivalencias y operación.
Detectar una suma demasiado pequeña
Se propone que 2/3 + 1/6 = 3/9. Comprueba y corrige.
Revisamos el tamaño
3/9 = 1/3 es menor que 2/3.No puede salir al añadir una cantidad positiva.
Calculamos con piezas iguales
2/3 = 4/6 y 4/6 + 1/6 = 5/6.
La suma correcta es 5/6.
Volver a quitar 1/6 da 4/6 = 2/3.
Una resta no puede dejar más que al principio
Para 5/6 − 1/3 se propone 4/3. Revisa.
Detectamos el tamaño imposible
4/3 supera una unidad, mientras 5/6 ya era menor que una unidad.
Revisamos las partes
1/3 = 2/6, por tanto 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
La respuesta correcta es 1/2.
1/2 + 1/3 = 5/6 comprueba la separación de las partes.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una cinta que se alarga
Tenemos 2/7 de metro de cinta y añadimos 3/7 de metro. ¿Qué longitud hay en total?
Fijamos la unidad y el tamaño de las partes
Ambas cantidades son fracciones de metro y ambas cuentan séptimos.
Contamos lo que se reúne
Dos séptimos más tres séptimos son cinco séptimos.
Escribimos la cuenta
2/7 + 3/7 = (2 + 3)/7 = 5/7 de metro.Comprobamos
Cinco séptimos menos los tres añadidos dan los dos iniciales. El denominador no cambia porque las piezas siguen midiendo un séptimo de metro.
Hay 5/7 de metro.
5/7 − 3/7 = 2/7: recuperamos la longitud inicial.
EJEMPLO RESUELTO 2
Medio litro y un cuarto
Una jarra contiene 1/2 litro. Añadimos 1/4 de litro. ¿Cuánto contiene ahora?
Identificamos tamaños distintos
La mitad y el cuarto son fracciones del mismo litro, pero no piezas iguales.
Elegimos cuartos para las dos cantidades
1/2 = 2/4.La segunda cantidad ya es 1/4.
Reunimos piezas iguales
2/4 + 1/4 = 3/4 de litro.Comprobamos el tamaño
La jarra tiene más de medio litro y menos de un litro.
Restar el cuarto añadido devuelve 2/4 = 1/2 litro.
Contiene 3/4 de litro.
Añadiendo otro cuarto completaríamos un litro: 3/4 + 1/4 = 1.
Los símbolos que hemos usado
- Denominador común
- El mismo tamaño de parte para todas las fracciones de la cuenta.
- Sumar fracciones
- Reunir sus cantidades.
- Restar fracciones
- Quitar una cantidad o encontrar la diferencia.
- Fracción propia
- En cantidades positivas, una fracción menor que un entero.
- Número mixto
- Un entero o varios junto a una fracción, como 1 y 1/4.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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