Distribución binomial

Éxito significa cumplir la condición que vamos a contar: puede ser cara, pieza marcada o incluso defecto. No tiene que ser algo deseable. X cuenta éxitos y toma enteros desde cero hasta n; no conserva en qué posiciones aparecieron.

Para X~Bin(n;p), n está fijado, todos los ensayos tienen probabilidad de éxito p y son independientes.

Si paramos al conseguir el primer éxito, el número de ensayos ya no está fijado y la pregunta describe otro modelo.

Una secuencia con k éxitos y n−k fracasos tiene probabilidad pᵏqⁿ⁻ᵏ por independencia. Todas las secuencias con esos recuentos tienen ese mismo producto. Para P(X=k) contamos todas sus posiciones posibles, no una sola secuencia.

Elegir las k posiciones de éxito puede hacerse de C(n,k)=n!/[k!(n−k)!] formas. Al sumar sus probabilidades obtenemos P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ para k entero entre cero y n. Fuera de ese rango la masa es cero. Se usa 0!=1 porque hay una sola elección sin posiciones.

Cada secuencia tiene exactamente un recuento k. Los sucesos X=0,…,X=n son incompatibles y cubren todos los resultados. El desarrollo de (p+q)ⁿ agrupa esos mismos productos con sus coeficientes C(n,k); como p+q=1, la suma total es uno.

Los casos extremos se leen directamente: si p=0 no hay éxitos, si p=1 todos son éxitos.

Así no tenemos que interpretar una potencia 0⁰ dentro de una sustitución automática.

Escribir primero los enteros permitidos evita elegir mal el complementario.

El menos uno mantiene dentro el valor a que queremos incluir.

Escribimos X=I₁+…+Iₙ: cada indicador Iᵢ vale uno si ese ensayo tiene éxito y cero si fracasa. Su esperanza es p. Al sumar esperanzas obtenemos E[X]=np, que es un promedio y puede no ser entero.

Cada indicador tiene varianza p(1−p). La independencia permite sumar esas varianzas: Var(X)=np(1−p). La desviación típica es su raíz. Para n>0, la proporción X/n tiene esperanza p y varianza p(1−p)/n: se divide la varianza de X entre n².

Con p=1/2 la distribución es simétrica: k y n−k tienen la misma probabilidad. Con p pequeño suele concentrarse cerca de cero y dejar cola hacia valores mayores; al cambiar p por 1−p se refleja el reparto de éxitos y fracasos.

Con p fijo, la media del recuento crece como n y su desviación como √n. La desviación de la proporción, en cambio, baja como 1/√n. Son escalas distintas: puede haber más variación absoluta en cantidades y menos en porcentajes al mismo tiempo.

Sin reposición en una población pequeña cambian las probabilidades entre extracciones. Si contamos elementos de una clase, el modelo exacto habitual es hipergeométrico. Una fracción de muestreo pequeña puede permitir una aproximación binomial, pero no convierte la independencia en exacta.

Si las probabilidades son distintas entre ensayos independientes, tampoco hay una binomial ordinaria con un único p. Y compartir una misma señal o causa puede crear dependencia entre intentos. La fórmula necesita su modelo completo, no solo las palabras éxito y fracaso.

Para n grande puede usarse una normal con media np y varianza np(1−p) si tanto éxitos como fracasos esperados son suficientemente numerosos. Las reglas orientativas como cinco o diez esperados de cada tipo no garantizan la misma precisión en todas las colas. El paso de enteros a área continua requiere corrección de continuidad.

Con muchos ensayos y p pequeño puede ser útil una Poisson de media np. Aquí comprobamos primero la fórmula exacta y el suceso que se pide. Una probabilidad debe quedar entre cero y uno; el complementario corresponde a los enteros que realmente se excluyen.