Productos vectorial y mixto

Trabajamos en ℝ³ con una base ortonormal de orientación derecha e₁, e₂, e₃.

Cambiar el orden invierte el signo. El dibujo es una proyección del espacio; sus ángulos aparentes no se miden como ángulos reales entre ejes.

Para dos vectores no paralelos, u × v es perpendicular a ambos, con sentido dado por la orientación y módulo ‖u‖‖v‖ sen θ. Si son paralelos o uno es cero, el resultado es cero y no tiene dirección definida. Aquí × no significa producto escalar.

El resultado tiene tres componentes. En la segunda, el orden de las restas es importante.

También se usa la expansión formal de un determinante con primera fila e₁, e₂, e₃. La componente central lleva el signo menos de los cofactores. Si todavía no se domina determinantes, calcular las tres diferencias por separado evita depender de una mnemotecnia sin comprenderla.

Un escalar real puede sacarse de cualquiera de los factores. Estas reglas permiten organizar cálculos conservando su orden.

No es asociativo: u × (v × w) puede ser distinto de (u × v) × w. Los paréntesis forman parte de la expresión. Tampoco se intercambia el punto por la cruz: uno devuelve un escalar y el otro un vector.

Con base ‖u‖ y altura ‖v‖ sen θ, el área del paralelogramo es ‖u‖‖v‖ sen θ = ‖u × v‖. El área no tiene signo; el vector conserva además una orientación perpendicular al plano.

Si los dos vectores salen de un vértice de un triángulo, ese triángulo ocupa la mitad del paralelogramo: área = ‖u × v‖/2. Elegimos desplazamientos con el mismo origen, no dos lados colocados sin atender a sus puntos.

Primero calculamos v × w, una flecha; después su producto escalar con u, un número. Es igual al determinante de las tres componentes ordenadas y también a (u × v) · w.

Permutar cíclicamente u, v, w conserva el valor. Intercambiar dos invierte el signo. El signo registra orientación; el valor absoluto tendrá interpretación de volumen. Escribimos los paréntesis para no intentar multiplicar vectorialmente un escalar.

v × w es perpendicular a la base del paralelogramo formado por v y w. Al hacer el producto con u se toma su componente normal por el área de esa base.

Si vale cero, los tres vectores son linealmente dependientes y pueden quedar en un mismo plano vectorial, o incluso en una recta. No encierran volumen tridimensional. La afirmación se refiere a vectores con origen común; para puntos construimos primero los desplazamientos.

Tres puntos no alineados A, B, C definen un plano.

Su cruz es una normal no nula. Si la cruz es cero, los puntos no determinan un plano único por este procedimiento.

Para cuatro puntos A, B, C, D, el volumen del tetraedro es |AB · (AC × AD)|/6. El divisor seis corresponde al tetraedro frente al paralelepípedo con esas aristas. Mantener A como origen común evita usar coordenadas absolutas de puntos donde hacen falta diferencias.

El resultado de una cruz debe ser perpendicular a ambos factores; además tiene un módulo y un sentido determinados. Cualquier múltiplo de una perpendicular también tendría producto escalar cero, así que esa prueba sola no demuestra que se haya calculado exactamente u × v.

Si las componentes de los factores miden longitud, la cruz tiene componentes con unidades cuadradas y el mixto unidades cúbicas. Al informar un área o volumen tomamos módulo o valor absoluto; al informar un vector o determinante conservamos su signo.