¿Cuál es el generador positivo de (15,25)⊂Z?
Calcula el máximo común divisor.
La combinación 2·15−25=5 coloca 5 en (15,25); multiplicándola por enteros se obtiene (5)⊆(15,25).
Los ideales son iguales y el generador positivo es 5.
¿Cuántos generadores necesita Z como módulo sobre sí mismo?
Prueba con 1.
El elemento 1 genera Z, porque cada entero n se escribe n·1.
Por tanto un generador basta.
La lista vacía solo genera el módulo cero y Z no es cero, así que el mínimo es 1.
¿El anillo k[x] sobre un cuerpo k es noetheriano? Responde sí/no.
Es un dominio euclídeo.
Si un ideal no nulo de k[x] contiene un polinomio de grado mínimo, dividimos cualquier otro elemento entre él.
El resto pertenece al ideal y tiene menor grado, por lo que debe ser cero. Así el ideal es principal; el ideal cero también lo es.
Todos los ideales son finitamente generados, por lo que sí es noetheriano.
Prueba que la cadena (x₁)⊂(x₁,x₂)⊂… no se estabiliza en k[x₁,x₂,…].
La variable nueva no está en el ideal anterior.
El homomorfismo que sustituye x₁=⋯=x_n=0 anula todo elemento de I_n, pero conserva x_(n+1) como una variable no nula.
Por ello x_(n+1)∉I_n y la inclusión es estricta para cada n. La cadena nunca se estabiliza.
Prueba que todo módulo finito como conjunto es finitamente generado.
Usa todos sus elementos como lista.
Supongamos M finito como conjunto y enumeremos todos sus elementos m₁,…,m_r.
Cada m_i pertenece al submódulo generado por la lista, pues m_i=1·m_i y los otros coeficientes pueden tomarse cero.
Así la lista genera todo M y es finita. Puede contener redundancias, que no afectan a la generación.