Anillos noetherianos y módulos finitamente generados

Trabajamos con un anillo conmutativo R con identidad. Un R-módulo M tiene una suma de grupo abeliano y una acción de R: se distribuye respecto de las dos sumas, (ab)m=a(bm) y 1m=m. Es la estructura de un espacio vectorial, permitiendo que los escalares formen un anillo en vez de un cuerpo.

Sobre Z, multiplicar por un entero significa sumar repetidamente y usar el opuesto para enteros negativos. Por eso un Z-módulo es un grupo abeliano. Un escalar no nulo puede anular un elemento no nulo: no se cancela como en un cuerpo.

Los elementos m₁,…, mᵣ generan M cuando cada elemento es una combinación con coeficientes de R.

Sus vectores que llegan a cero son las relaciones entre los generadores.

Si la aplicación también es inyectiva, cada escritura es única y la lista es una base: M es libre. Sobre anillos puede haber generación finita sin base. Además, finitamente generado habla de la lista de generadores, no del número de elementos de M.

Un módulo M es noetheriano si cada submódulo N⊆M es finitamente generado. Un anillo R es noetheriano si lo es como módulo sobre sí mismo; equivale a pedir generación finita de todos sus ideales.

Todo anillo R está generado por uno como R-módulo. Esa observación no dice nada sobre cuántos generadores necesitan sus ideales. Un módulo noetheriano sí es finitamente generado, tomando N=M; la vuelta requiere hipótesis sobre R.

Se estabiliza si existe un índice N a partir del cual todos los términos son iguales. La condición ACC exige esto para cualquier cadena de submódulos.

Si todos los submódulos son finitamente generados, la unión de una cadena es un submódulo: dos elementos aparecen juntos en algún nivel y allí se operan. Sus finitos generadores aparecen juntos en un nivel N; ese nivel ya contiene toda la unión. Recíprocamente, un submódulo sin generación finita permitiría elegir un elemento nuevo tras cada lista finita y construir una cadena estricta.

Para un ideal no nulo de Z, elegimos su menor entero positivo d. Dividimos cualquier a del ideal como a=qd+r, con 0≤r<d. El resto también está en el ideal, así que la minimalidad obliga a r=0. Todos los elementos son múltiplos de d y el ideal es (d).

En k[x], con k cuerpo, se repite el argumento eligiendo un polinomio no nulo de grado mínimo. La división deja resto de grado menor, que necesariamente es cero. Por ello ambos anillos son principales y noetherianos. En más variables puede conservarse la generación finita sin conservar un solo generador.

El teorema de la base de Hilbert afirma que R noetheriano implica R[x] noetheriano. Veamos el mecanismo. Para un ideal I de R[x], sea a_n el ideal de coeficientes de xⁿ de sus polinomios de grado como máximo n.

La cadena se estabiliza en N. Para cada n≤N elegimos finitos generadores de a_n y polinomios de I que los realizan como coeficientes de xⁿ. Es una lista finita de polinomios. Dado f de grado m≥N, sus coeficientes principales se cancelan con combinaciones de por los polinomios elegidos en N.

Cada resta baja el grado: termina en cero y expresa f con aquella lista. El mismo argumento vale con divisores de cero: solo usa cancelación de coeficientes mediante resta.

Una suma directa finita de módulos noetherianos es noetheriana. Para R², por ejemplo, un submódulo N se estudia con su proyección sobre la primera coordenada: la imagen y el núcleo situado en la segunda son ideales finitamente generados. Levantar generadores de la imagen y añadir los del núcleo genera N.

El argumento se repite con más coordenadas.

Si M está generado por r elementos, es cociente de Rʳ. Todo submódulo de ese cociente tiene generación finita porque su preimagen la tiene. Además el núcleo K de Rʳ→M es finitamente generado: elegir s generadores de K produce una presentación . La primera flecha no tiene por qué ser inyectiva.

Noetheriano controla cadenas ascendentes. Artiniano controla descendentes, y ninguna sustitución de dirección es automática. También son distintas la finitud de un conjunto, la finitud de sus generadores y la existencia de una base.

Para probar una afirmación universal se necesita un argumento que alcance todos los subobjetos, como división, Hilbert o estabilidad por cocientes. Comprobar muchos ideales particulares no demuestra que un anillo entero sea noetheriano.