Anillos, ideales y anillos cociente

En un anillo R, la suma forma un grupo abeliano: cero, opuestos, asociatividad y conmutatividad. El producto es asociativo y se distribuye sobre sumas por ambos lados. Aquí trabajamos con unidad multiplicativa uno. No exigimos producto conmutativo salvo cuando lo indiquemos.

No todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. Un cuerpo exige esos inversos y producto conmutativo, además de 1≠0. Un dominio conmutativo exige 1≠0 y que un producto cero tenga algún factor cero. El anillo cero, donde 1=0, se trata aparte y no es cuerpo ni dominio bajo estas convenciones.

I es ideal bilateral si es subgrupo aditivo y ri,ir∈I para todos i∈I y r∈R. En un anillo conmutativo los dos lados coinciden. El factor r puede venir de cualquier parte de R, no solo del propio I.

Un ideal no necesita contener uno; si lo contiene, contiene cada r=r·1 y es todo R. Por tanto un ideal propio no contiene la unidad. Ser subanillo no basta para ser ideal: falta esa absorción frente a factores exteriores.

Con varios generadores, (a₁,…,aₖ) reúne las sumas r₁a₁+…+rₖaₖ. Es un ideal que contiene los generadores, y cualquier ideal que los contenga tiene que incluir todas esas combinaciones.

Si no es cero, contiene positivos y elegimos el menor n. Dividir cualquier a del ideal por n deja un resto también en el ideal; si fuera positivo menor que n, contradicción. Así todos los elementos son múltiplos de n.

Es equivalencia por las reglas aditivas del ideal.

Antes de usar estas operaciones debemos comprobar que no dependen del representante. La suma se controla por cierre aditivo; el producto necesita absorción. La clase cero es I y la clase unidad es 1+I; si I es propio, son distintas.

El primer término pertenece a I por absorción a la derecha y el segundo por absorción a la izquierda. La suma permanece en I y los dos productos representan la misma clase.

La prueba funciona también sin conmutatividad porque respeta el orden de factores. Asociatividad, distributividad y, cuando existe, conmutatividad se heredan al pasar a clases. Si solo tenemos un subgrupo aditivo sin absorción, el producto puede fallar.

Un homomorfismo de anillos respeta suma y producto; con nuestra convención también envía uno a uno. El núcleo reúne los elementos enviados a cero y es subgrupo aditivo.

El primer isomorfismo de anillos define [a]↦φ(a) y da R/kerφ≅imφ. Además del argumento de grupos aditivos, se comprueba que esta aplicación conserva el producto y la unidad.

Ahora R es conmutativo con unidad.

Por tanto I primo equivale a R/I dominio. La palabra propio asegura que 1 e 0 no se identifiquen. No se sustituye esta definición por la idea de número primo sin comprobar qué son los elementos y productos del anillo.

I propio es maximal si no hay un ideal entre I y R estrictamente mayor que I y menor que R.

Así R/I es cuerpo.

Recíprocamente, si R/I es cuerpo y J contiene I junto con a∉I, un inverso de [a] produce ra−1∈I⊆J, de modo que 1∈J y J=R. Por tanto I es maximal. Todo maximal es primo porque un cuerpo es dominio; la implicación inversa puede fallar.

Si existe inverso, ab−1 es múltiplo de n y cualquier divisor común de a,n divide uno: tiene que ser uno.

Si n es primo, todas las clases no nulas son unidades y el cociente es cuerpo. Si n es compuesto, escribir n=uv con 1<u,v<n produce clases no nulas de producto cero. El caso n=1 es el anillo cero y queda fuera de cuerpo y dominio bajo nuestra convención.