Divisibilidad, múltiplos y divisores

Tenemos 18 objetos y hacemos grupos de 3.

Por eso decimos que 3 divide a 18, que 3 es divisor de 18 y que 18 es múltiplo de 3. Las tres frases describen la misma división exacta.

Con 20 objetos, seis grupos de 3 usan 18 y sobran 2. El cociente 20/3 no es entero, así que 3 no divide a 20. No basta poder dividir con decimales: aquí pedimos un número entero de grupos.

En este tema buscamos divisores positivos de enteros positivos. Escribimos a ∣ b, leído «a divide a b», cuando b = a·k para un entero k. a es el divisor; b, el múltiplo. El orden importa. Para listar múltiplos positivos de a multiplicamos a por 1, 2, 3,…; para listar divisores de b buscamos factores del número fijo b.

Para buscar divisores de 18, anotamos productos: 1·18, 2·9 y 3·6. Cada pareja aporta dos divisores. Los ordenamos: 1, 2, 3, 6, 9 y 18. El 4 y el 5 no sirven porque no tienen compañero entero que complete 18.

Probamos factores pequeños en orden hasta que las parejas se inviertan. Una pareja 6·3 repetiría 3·6. En un cuadrado como 25, la pareja central 5·5 aporta un solo divisor distinto: 5 no se cuenta dos veces.

La raíz cuadrada de un número positivo es el número no negativo que al multiplicarse por sí mismo lo da. √25 = 5. Si un producto fuera 25 y los dos factores fueran mayores que 5, el producto superaría 25. Por eso basta revisar posibles factores hasta ese cruce: cualquier pareja tendría al menos un factor a ese lado.

El 7 solo tiene divisores positivos 1 y 7. El 8 también tiene 2 y 4. Un primo es un entero positivo con exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Un compuesto es un entero mayor que 1 que tiene un divisor intermedio.

El 1 no es primo: solo tiene un divisor positivo, el 1. Tampoco es compuesto. El 2 sí es primo y es el único primo par: cualquier otro par mayor que 2 tiene al menos el divisor intermedio 2.

Para probar que un número es primo, basta intentar sus posibles divisores primos hasta la raíz cuadrada. Si tuviera un divisor compuesto, alguno de los primos que lo forman también lo dividiría. Y cualquier pareja de factores tiene uno que no supera ese cruce.

El 24 se puede escribir 6·4, pero esos factores aún son compuestos.

Ahora todos los factores son primos.

Otra forma es dividir por primos hasta llegar a 1: 24 ÷ 2 = 12; 12 ÷ 2 = 6; 6 ÷ 2 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Guardamos los divisores utilizados. Repetir un factor se resume con exponente: 2³ significa 2·2·2, no 2·3.

Todo entero mayor que 1 tiene una descomposición en primos que es única salvo el orden. Podemos empezar por otro divisor exacto y llegar a los mismos primos. Esta lista permite comparar cuántas copias de cada primo contiene cada número. Al terminar siempre multiplicamos para reconstruir el original.

Para 2,5 y 10 basta la última cifra. Un número es divisible por 2 si acaba en 0,2,4,6 u 8; por 5 si acaba en 0 o 5; por 10 si acaba en 0. El motivo es que todas las decenas completas ya son divisibles por esos números.

Solo queda revisar las unidades.

Para 3 y 9 sumamos las cifras. Si esa suma es divisible por 3 o por 9, respectivamente, también lo es el número. Por ejemplo, 10 = 9 + 1 y 100 = 99 + 1: al dividir por 3 o por 9 cada posición decimal aporta el mismo resto que su cifra.

La diferencia entre el número y la suma de sus cifras es múltiplo de 9, y también de 3.

Para 4 revisamos las dos últimas cifras, porque las centenas completas son múltiplos de 4. Para 8 revisamos las tres últimas, porque 1000 es múltiplo de 8. Para 6 pedimos simultáneamente divisibilidad por 2 y por 3: como 6 = 2·3, hacen falta ambos factores.

El criterio decide si la división será exacta; no calcula necesariamente su cociente. Reconstruir el producto sigue siendo una comprobación directa.

Los divisores de 12 son 1,2,3,4,6,12 y los de 18 son 1,2,3,6,9,18. Los comunes son 1,2,3,6. El mayor, 6, se llama máximo común divisor: MCD(12,18) = 6. Primero significa divisor de los dos; después seleccionamos el mayor.

Con factores primos podemos evitar listas largas. En 24 = 2³·3 y 36 = 2²·3², un divisor común solo puede usar primos presentes en ambos. Tampoco puede tomar más copias que las que tiene el número con menos.

La regla es tomar los factores comunes con el menor exponente. Esas copias caben en ambos, y añadir un primo o una copia no compartidos impediría dividir a alguno. Si no hay primos comunes, el MCD es 1; los números se llaman primos entre sí, aunque puedan ser compuestos.

Los múltiplos positivos de 6 empiezan 6,12,18,24,30,36,… y los de 9, 9,18,27,36,… Las primeras coincidencias son 18 y 36. La menor positiva, 18, es el mínimo común múltiplo: mcm(6,9) = 18. El cero también es múltiplo, pero no sirve como primer positivo ni como nueva coincidencia después del inicio.

En factores primos, un múltiplo de 24 necesita al menos tres factores 2 y uno 3. Ser múltiplo también de 36 exige al menos dos factores 2 y dos 3. Para contener a los dos, tomamos tres 2 y dos 3: 2³·3² = 72.

Así usamos todos los primos presentes con el mayor exponente necesario. Menos copias no bastan para alguno de los números; más copias darían un múltiplo común mayor. Multiplicar directamente ambos números siempre da un múltiplo común, pero puede repetir innecesariamente sus factores compartidos.

Para formar bolsas idénticas usando 16 fichas rojas y 24 azules, el número de bolsas tiene que dividir a 16 y a 24. Si queremos el máximo número de bolsas, buscamos el mayor divisor común. Una vez hallado, dividimos las cantidades para saber el contenido de cada bolsa.

Para dos señales que se repiten cada 6 y 9 segundos y coinciden ahora, la siguiente coincidencia debe contener un número entero de períodos de ambas. Buscamos un múltiplo común positivo, y el primero es el mcm. La cantidad buscada contiene los períodos; no está contenida como tamaño de un grupo en las cantidades iniciales.

No basta detectar una palabra como «máximo». Escribimos qué debe dividir a qué. Los repartos suponen objetos enteros y bolsas iguales; los ciclos suponen períodos constantes y un inicio común declarado.

Para dos enteros positivos se cumple MCD(a,b)·mcm(a,b) = a·b. En cada primo, el exponente menor usado por el MCD y el mayor usado por el mcm suman los dos exponentes originales. La letra a y la b nombran las dos cantidades, no sus resultados.

Si un número divide al otro, el menor es su MCD y el mayor es su mcm: el pequeño cabe en ambos y el grande ya contiene a ambos. Si son primos entre sí, el MCD es 1 y el mcm es el producto.

Ningún entero positivo admite cero como divisor. Aquí calculamos MCD y mcm de entradas positivas; ampliar la definición al cero requiere indicar una convención y nunca permite dividir entre cero.

Una comprobación debe revisar el tipo de resultado: el MCD divide a los datos y el mcm es divisible por ellos. La identidad del producto es una comprobación adicional, no decide qué pide un problema de reparto o de ciclos.