Fracciones y números decimales

Tomamos una tira completa como unidad y la dividimos en cinco partes iguales. Cada parte es un quinto de esa unidad. Si marcamos tres, la cantidad marcada es 3/5. El 5 indica cómo se partió la unidad y el 3 cuántas de esas partes se cuentan.

El número de arriba se llama numerador y el de abajo denominador. En esta interpretación de reparto, un denominador positivo n dice que la unidad tiene n partes iguales. El numerador puede contar menos partes que una unidad, una unidad exacta o más de una.

Hay que conservar la misma unidad al comparar dibujos. Media tira de 10 cm mide 5 cm y media tira de 20 cm mide 10 cm. Las dos son la mitad de su propia unidad, pero no contienen la misma longitud. Tampoco contar tres trozos desiguales permite llamarlos automáticamente tres quintos.

Repartimos tres litros entre cuatro recipientes iguales. A cada uno corresponden 3 ÷ 4 litros, escrito 3/4 L. La fracción nombra el cociente completo: no son dos números que puedan cambiarse por separado sin alterar la cantidad.

Un número racional es el que puede escribirse a/b con a y b enteros y b ≠ 0. El conjunto se llama ℚ.

También incluye cantidades mayores que uno, negativas y cero. El denominador cero se excluye porque no define un cociente único.

En una fracción positiva como 11/4, cuatro cuartos forman una unidad. Podemos separar ocho cuartos y tres más: 11/4 = 2 + 3/4. Esta escritura mixta conserva la cantidad. Para volver, multiplicamos las unidades enteras por el denominador y añadimos las partes que quedaban.

Marcamos 3/4 de una tira. Si dividimos cada cuarto en dos partes iguales, las tres partes marcadas pasan a ser seis octavos.

Son fracciones equivalentes.

Multiplicar numerador y denominador por el mismo número no nulo conserva el cociente. En fracciones de enteros, podemos multiplicar ambos por un entero positivo para hacer partes más pequeñas. Simplificar recorre el camino contrario: dividir ambos entre un divisor común no nulo.

Una fracción es irreducible cuando sus términos enteros no comparten divisor positivo mayor que 1. Podemos dividir entre su MCD para llegar de una vez. La simplificación cancela factores, no términos de una suma: (5 + 3)/5 no permite borrar los dos 5, porque el numerador completo es 8.

Para la misma unidad y el mismo denominador positivo, decide el numerador: 5/8 es mayor que 3/8 porque contiene más octavos. Si el numerador positivo es el mismo, un denominador mayor produce partes menores: 2/7 es menor que 2/3.

Si cambian ambos términos, transformamos las fracciones a un denominador común.

El producto cruzado es un atajo de esta equivalencia cuando los denominadores son positivos.

También ayuda comparar con referencias. Una fracción positiva con numerador menor que su denominador está entre cero y uno. Si son iguales vale uno; si el numerador es mayor, supera la unidad. Primero miramos el valor completo, no qué fracción tiene las cifras más grandes.

Dos quintos y un tercio usan partes de tamaños distintos. Repartimos la misma unidad en quince partes: cada quinto contiene tres quinceavos y cada tercio cinco.

Con denominador común se suman o restan numeradores y se conserva el denominador. Seguimos contando el mismo tipo de partes. Sumar también los denominadores cambiaría su tamaño a mitad de la cuenta.

El denominador común puede ser cualquier múltiplo positivo de los denominadores. El mcm suele dar la cuenta más pequeña. Al cambiar una fracción, cambiamos arriba y abajo por el mismo factor. En una resta se conserva también el orden: a la primera cantidad se le quita la segunda.

Un entero se convierte al mismo tipo de partes: si trabajamos en sextos, dos unidades son doce sextos. Al terminar simplificamos si la respuesta todavía tiene factores comunes.

Tomar 2/3 de 4/5 es seleccionar dos tercios de una cantidad que ya ocupa cuatro quintos de la unidad. Si dividimos un rectángulo en cinco columnas y tres filas, la unidad tiene quince celdas iguales. El cruce de cuatro columnas con dos filas ocupa ocho celdas: 8/15.

Por eso multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí: (a/b)·(c/d) = (ac)/(bd), con b y d distintos de cero. Las letras a,b,c,d representan los términos de las dos fracciones. Aquí no sumamos partes: estamos tomando una cantidad multiplicada por otra.

Podemos simplificar factores antes del producto porque aparecen arriba y abajo en una misma fracción. Cada división deja un cociente: si 25 y 10 se dividen entre 5, quedan 5 y 2; no desaparecen los dos números sin dejar nada.

Multiplicar una cantidad positiva por una fracción entre cero y uno la reduce. Multiplicarla por un número mayor que uno la aumenta. El producto no es siempre menor ni siempre mayor: depende del factor.

En 3/4 caben tres porciones de 1/4. La división (3/4) ÷ (1/4) vale 3 porque cuenta esas porciones. El resultado puede aumentar al dividir entre una fracción pequeña: la porción que estamos contando es menor que la unidad.

En general, dividir A entre B busca el número q que cumple B·q = A.

Multiplicar A por ese recíproco permite deshacer la multiplicación por B. La división exige que c y d no sean cero.

Así (a/b) ÷ (c/d) = (a/b)·(d/c), con las fracciones definidas y el divisor no nulo. Se invierte el divisor; el dividendo conserva su posición y su valor. La multiplicación de la respuesta por el divisor es una comprobación directa.

El signo de una fracción se interpreta como en una división.

Conviene dejar el denominador positivo para comparar cantidades sin cambiar las reglas de orden.

Una fracción negativa se sitúa a la izquierda de cero. Entre dos negativos es mayor el que está más cerca de cero: −1/4 > −3/4. Para sumar racionales con signo usamos denominadores comunes y sumamos sus numeradores enteros con sus signos.

Un decimal finito se puede escribir como fracción usando el valor de sus posiciones.

Para un decimal con tres cifras después de la coma, el denominador inicial es 1000. Después se simplifica. Dividir numerador entre denominador hace el recorrido inverso.

Las comprobaciones dependen de la tarea: una equivalencia conserva la cantidad; una suma exige partes iguales; un producto reúne factores; una división debe recuperar el dividendo al multiplicar por su divisor.