Acciones de grupos y teoremas de Sylow

En el segundo miembro actúa h primero y g después. Actuar con g⁻¹ deshace g, así que cada elemento produce una biyección de X.

No exigimos que elementos distintos produzcan movimientos distintos. Si solo el neutro actúa como identidad sobre todo X, la acción es fiel. Esa propiedad es adicional; los axiomas de acción por sí solos permiten movimientos indistinguibles.

Contiene x por el neutro.

Por tanto alcanzabilidad es una relación de equivalencia y las órbitas particionan X.

Dos órbitas que comparten un punto coinciden. Una acción transitiva tiene una sola órbita, pero puede tener movimientos no triviales que fijen un punto. Tamaño de órbita y tamaño del grupo no son lo mismo.

Es subgrupo: contiene e; si g,h fijan x, también gh⁻¹ lo fija. El inverso de un movimiento que fija x sigue fijándolo. No hace falta que estos movimientos dejen quietos los demás puntos.

Si y=g·x, entonces Gᵧ=gGₓg⁻¹: conjugamos los movimientos que fijaban x para obtener los que fijan y. Los estabilizadores de una misma órbita tienen por ello el mismo tamaño en grupos finitos.

La aplicación gGₓ↦g·x es una biyección. Cambiar g por gh con h∈Gₓ no cambia el destino; si g·x=k·x, entonces k⁻¹g fija x y las clases coinciden. Todo punto de la órbita se alcanza por definición.

No se necesita normalidad del estabilizador: estamos contando clases como conjunto, sin construir una operación de grupo cociente.

En la acción de G sobre sí mismo por g·x=gxg⁻¹, las órbitas son clases de conjugación y el estabilizador es C_G(x), el centralizador: elementos que conmutan con x. Los elementos del centro tienen órbita de tamaño uno.

Si los objetos son subgrupos, la acción g·P=gPg⁻¹ tiene estabilizador N_G(P), el normalizador. Contiene a P. Si toda conjugación deja P como conjunto, su normalizador es todo G y P es normal. Esta acción será la que cuente los Sylow.

Un p-Sylow tiene orden pᵃ, y el primer teorema asegura que existe. Un p-subgrupo es cualquier subgrupo de orden potencia de p. Ser Sylow se refiere a la máxima potencia prima, no a ser maximal entre todos los subgrupos propios.

Una prueba usa la acción de G por traslación en los subconjuntos S⊆G de tamaño pᵃ. Su número es el coeficiente de t^(pᵃ) en (1+t)^(pᵃm). Módulo p, la identidad (1+t)^(pᵃm)≡(1+t^(pᵃ))ᵐ muestra que ese coeficiente es m, no divisible por p. La identidad sale de que los coeficientes binomiales intermedios de (1+t)ᵖ son divisibles por p, repitiendo ese paso tantas veces como indica el exponente a.

Por tanto hay una órbita cuyo tamaño no es divisible por p. Su estabilizador H preserva S y actúa libremente en él por traslación: hs=s fuerza h=e. Así |H| divide pᵃ. Además el tamaño de esa órbita es |G|/|H|, no divisible por p, lo que fuerza |H|=pᵃ.

Ese H es el Sylow buscado.

Fija un p-Sylow P y deja que un p-subgrupo Q actúe por izquierda en las clases G/P. Hay m clases, número no divisible por p. Las órbitas de Q tienen tamaños potencias de p por órbita–estabilizador; las no triviales tienen tamaño divisible por p. Tiene que existir una clase fija gP.

Que todos los q∈Q fijen gP significa qgP=gP, equivalente a g⁻¹Qg⊆P.

Si Q también es Sylow, ambos tamaños son pᵃ y la inclusión es igualdad: todos los p-Sylow son conjugados.

Sea nₚ el número de p-Sylow.

El normalizador contiene a P, de modo que su orden es pᵃd con d|m. El índice es m/d; por tanto nₚ|m.

Para la congruencia, P actúa por conjugación en todos los p-Sylow. El único fijo es P: si otro Q fuera fijo, P normalizaría Q y PQ sería un p-subgrupo. Su orden es |P||Q|/|P∩Q|, potencia de p; contener a P y no superar la máxima potencia pᵃ fuerza PQ=P=Q.

La fórmula del producto cuenta que cada elemento tiene |P∩Q| representaciones como producto.

Las demás órbitas de P tienen tamaños divisibles por p.

Las dos restricciones son simultáneas; no basta cumplir solo una.

Si nₚ=1, cualquier conjugada del único P es otro p-Sylow y tiene que ser P: es normal. Si P es normal, todas sus conjugadas son P y, como todos los Sylow son conjugados, nₚ=1.

Procedimiento: factoriza el orden, identifica pᵃ y m, enumera divisores de m y filtra por resto uno módulo p. Si solo queda uno, la normalidad está probada. Si quedan varios, necesitamos información adicional; no elegimos el que parezca más cómodo.

Para orden 21=3·7, las condiciones dan n₃∈{1,7}; ambas dejan resto uno módulo tres. No basta conocer el orden para elegir. En cambio n₇ divide tres y es uno módulo siete, de modo que n₇=1 en cualquier grupo de ese orden.

Separar tamaño de un Sylow y cantidad de Sylow evita errores: cada 3-Sylow tiene tres elementos, sea su cantidad uno o siete. Las acciones pueden mover puntos, elementos o subgrupos; nombrar X mantiene claro qué estamos contando.