¿Cuál es la cardinalidad del cuerpo residual Z_(5)/5Z_(5)?
Es el cuerpo de residuos módulo 5.
En Z_(5), reducir numeradores y denominadores módulo 5 define una aplicación a F₅, pues todos los denominadores permitidos son invertibles allí.
El núcleo son las fracciones de numerador divisible por 5, es decir, 5Z_(5), y todos los residuos se alcanzan con enteros.
El cociente es F₅ y tiene 5 elementos.
¿1/7 pertenece a Z_(7)? Responde sí/no.
El denominador está en el primo.
La fracción 1/7 está reducida y su denominador es divisible por 7.
Si tuviera una presentación a/b con b no divisible por 7, la igualdad racional daría b=7a.
Eso obligaría a 7 dividir b. No pertenece a Z_(7), así que la respuesta es no.
¿2/3 es una unidad de Z_(5)? Responde sí/no.
Ni numerador ni denominador son divisibles por 5.
3 no es divisible por 5, por lo que 2/3 pertenece a Z_(5).
El numerador 2 tampoco es divisible por 5 y su inversa racional es 3/2.
Esa inversa también tiene denominador permitido y su producto es 1. La respuesta es sí.
Justifica que todo elemento fuera del maximal de un anillo local es una unidad.
Un no invertible genera un ideal propio.
Si x no fuese unidad, el ideal (x) sería propio.
Todo ideal propio de un anillo con identidad está contenido en un maximal; como R es local, ese maximal debe ser m.
Por tanto x es unidad.
Explica la propiedad universal para Z→Q.
En Q todos los enteros no nulos son unidades.
Tomamos S=Z\{0}; su localización es Q, porque se permiten todos los denominadores enteros no nulos.
Si f:Z→B vuelve unidades los elementos de S, la única prolongación posible envía a/b a f(a)f(b)⁻¹.
La regla de igualdad de fracciones garantiza que está bien definida y las operaciones que es un homomorfismo. Eso demuestra existencia y unicidad de la factorización.