Una fracción necesita un denominador permitido. La localización comienza eligiendo cuáles elementos tendrán inverso. Con los enteros parece una ampliación familiar de las fracciones; con divisores de cero también puede borrar información. Construiremos ambos casos antes de estudiar anillos locales, sus unidades y lo que conserva un módulo al localizarse.
Si necesitas repasar:
1. Primero se elige qué tendrá inverso
Sea R un anillo conmutativo con identidad. Un conjunto S es multiplicativo cuando contiene uno y está cerrado bajo productos. La localización S⁻¹R obliga a que los elementos de S sean unidades y no impone relaciones adicionales salvo las necesarias para conseguirlo.
Si S son las potencias de f se escribe R_f.
No son la misma elección. Admitimos la convención de que S pueda contener cero; en ese caso la localización será el anillo cero. En los ejemplos ordinarios lo evitamos.
Invertir dos produce denominadores potencia de dos
R=Z y S={1,2,4,8,…}.
Cierre
2ᵃ·2ᵇ=2ᵃ⁺ᵇ y uno corresponde al exponente cero.Fracciones
La localización Z[1/2] contiene 3/8 y 1/2. Cada fracción reducida tiene denominador potencia de dos.
Exclusión
Si 1/3=a/2ⁿ, entonces 2ⁿ=3a, imposible porque tres no divide una potencia de dos.
Un tercio no aparece al invertir solo dos.
El conjunto de denominadores decide la respuesta.
Localizar en el primo dos invierte su complemento
R=Z y p=(2).
Complemento
S está formado por todos los enteros impares, positivos y negativos.
Fracciones
Un tercio pertenece a Z_(2), porque tres es impar. Un medio no pertenece: en forma reducida su denominador es par.
Comparación
Z[1/2] y Z_(2) permiten denominadores distintos. El primero ni siquiera es local: por ejemplo sobreviven los maximales de tres y de cinco.
Localizar en dos no significa invertir dos.
Los ideales (3) y (5) son disjuntos de las potencias de dos.
2. La igualdad de fracciones incluye un factor que puede anular diferencias
.En un dominio y con cero fuera de S, se cancela u y queda el producto cruzado habitual. En un anillo con divisores de cero no se cancela sin justificarlo.
La suma se representa por (at+bs)/(st) y el producto por ab/(st). El denominador vuelve a estar en S.
Esa condición permite detectar exactamente la información que desaparece.
En un dominio recuperamos la igualdad familiar
En Z[1/2], comparar 3/4 y 6/8.
Denominadores
Cuatro y ocho son potencias de dos.
Cruzar
3·8−6·4=24−24=0.Basta u=1 para la equivalencia.Operar
Su suma es (3·8+6·4)/32=48/32=3/2, otra fracción permitida.
Las reglas habituales funcionan porque se han comprobado denominadores y equivalencia.
Tres medios también tiene denominador potencia de dos.
Un divisor de cero da una igualdad sin producto cruzado nulo
En R=Z/6Z, S={1,2,4}, comparar 3/1 y 0/1.
Diferencia
El producto cruzado es tres, que no es cero en R.
Factor permitido
Tomar u=2 da 2·3=0 en R.Por eso las fracciones sí son iguales.
Interpretación
Al hacer dos invertible, la ecuación 2·3=0 obliga a que la imagen de tres sea cero.
La regla con u no es un adorno de la definición.
No se afirma que tres fuera ya cero en el anillo inicial.
3. Localizar puede identificar elementos o incluso dar el anillo cero
En Z/6Z, el conjunto {1,2,4} es multiplicativo. La reducción módulo tres envía sus elementos a unidades y distingue tres clases finales. En efecto, las fracciones se identifican con F₃ mediante a/s↦a·s⁻¹ módulo tres.
Una localización es el anillo cero exactamente cuando 0∈S.
Calcular una fracción en la localización de Z/6Z
Encontrar la imagen de 5/2 en F₃.
Reducir
Cinco da dos y el denominador dos sigue siendo dos.
Invertir
En F₃, el inverso de dos es dos, pues 2·2=1.Resultado
La fracción da 2·2=1.También 5/2=1/1 en la localización, porque 2(5−2)=6=0 módulo seis.
Las dieciocho parejas a/s representan solo tres elementos.
La reducción módulo tres y la equivalencia dan la misma respuesta.
Invertir un nilpotente hace colapsar todo
En Z/4Z se quiere invertir la clase de dos.
Cerrar S
Las potencias de dos incluyen uno, dos y cero, porque 2²=0.
Usar la inversa
Si dos fuera unidad, también su cuadrado sería unidad. Pero ese cuadrado es cero.
Conclusión
Cero sería unidad y el anillo resultante tendría 1=0: solo un elemento.
La elección de denominadores puede producir una localización trivial.
No se confunde el caso con Z/6Z, donde el conjunto elegido no contiene cero.
4. La propiedad universal explica cuándo existe una prolongación
Si un homomorfismo f: R→B envía todo s∈S a una unidad de B, debe prolongarse mediante g(a/s)=f(a)f(s)⁻¹. La condición de equivalencia garantiza que esa fórmula no depende del par elegido. Las reglas de suma y producto muestran que g es un homomorfismo.
La prolongación es única: la imagen de a/1 ya está fijada y la de 1/s tiene que ser el inverso de f(s). Si algún denominador no llega a una unidad, la hipótesis falla y no puede exigirse esa prolongación.
La reducción adecuada permite prolongar
Z/6Z→F₃, con S={1,2,4}.
Hipótesis
Uno, dos y cuatro dan uno, dos y uno; todos son unidades de F₃.
Fórmula forzada
g(a/s) es el residuo de a multiplicado por el inverso del residuo de s.
Contraste
La reducción Z/6Z→F₂ no sirve para esta S: dos llega a cero, que no es una unidad de F₂.
No cualquier aplicación desde R continúa desde su localización.
Se revisan todos los denominadores antes de usar la fórmula.
Q exige invertir todos los enteros no nulos
Intentar prolongar Z→Z[1/2] a Q.
Lo que haría falta
Como tres tiene inverso en Q, su imagen debería tener inverso en Z[1/2].
Obstrucción
Ese inverso sería un tercio, que no pertenece a Z[1/2].
Caso correcto
Una aplicación de Z a un anillo donde todos los enteros no nulos sean unidades sí se prolonga a Q, y la imagen de a/b queda fijada por la fórmula.
Invertir algunos enteros no satisface la propiedad universal del cuerpo de fracciones.
La falta de un único inverso basta para impedir la prolongación.
5. Sobreviven los primos que no contienen denominadores permitidos
Si un ideal contiene s∈S, al localizar contiene una unidad y se vuelve todo S⁻¹R. Los ideales primos propios de la localización corresponden exactamente a los primos q de R disjuntos de S, mediante extensión y contracción.
Todos los primos que sobreviven están bajo p, y pR_p es el único maximal. Esto demuestra que R_p es local. Los primos más pequeños no necesariamente desaparecen.
Al localizar Z en tres, algunos primos se pierden
S=Z∖(3).
Tres
(3) no contiene ningún entero permitido como denominador: sobrevive.
Dos
Dos está en (2) y en S. Su imagen es una unidad, de modo que (2) se vuelve todo el anillo.
Cero
El primo (0) también sobrevive, porque S no contiene cero. Por tanto local no significa tener un único ideal primo.
Hay un único maximal, aunque pueda haber más primos.
La distinción entre primo y maximal se conserva.
Un primo no maximal produce un cuerpo residual con fracciones
R=k[x, y] y p=(x).
Denominador
y no pertenece a (x), así que y se vuelve unidad en R_p.
Cociente
Primero R/p=k[y].Los denominadores permitidos dan todos los polinomios no nulos de k[y].
Residuo
El cuerpo residual es k(y), el cuerpo de funciones racionales en y, y no simplemente k[y].
El cociente se convierte en cuerpo después de invertir el complemento.
En el maximal (x, y), en cambio, el cuerpo residual es k.
6. En un anillo local, estar fuera del maximal equivale a ser unidad
Sea A un anillo con único ideal maximal m. Si a no es unidad, el ideal (a) es propio y queda contenido en algún maximal; al ser único, a∈m. Recíprocamente, una unidad en un ideal obligaría a que el ideal contuviera uno. Por tanto las no unidades forman exactamente m.
El cociente A/m es un cuerpo, llamado cuerpo residual.
El residuo informa sobre unidades, pero no determina todo el anillo.
Una suma puede convertirse en unidad sin que cada sumando lo sea
En Z_(3), comparar tres, seis y cuatro.
No unidades
Tres y seis están en el maximal 3Z_(3). Su suma nueve también.
Fuera
Cuatro no pertenece al maximal y su inverso 1/4 tiene denominador permitido.
Consecuencia
Uno más un elemento del maximal siempre queda fuera del maximal: si también estuviera dentro, su diferencia uno estaría dentro.
En particular 1+3=4 es unidad.
Las no unidades forman un ideal en un anillo local.
Mismo residuo no significa mismo elemento
Comparar uno y cuatro en Z_(3).
Reducir
Ambos dan uno en F₃.
Diferencia
Cuatro menos uno es tres, que pertenece al maximal pero no es cero en Z_(3).
Lectura
El cociente identifica elementos que difieren por el maximal. No afirma igualdad en el anillo original.
El cuerpo residual conserva una parte de la información.
Ambos son unidades, pero son dos racionales distintos.
7. En Z_(p) se reduce la fracción antes de decidir pertenencia y unidades
Un racional pertenece a Z_(p) si admite un denominador no divisible por p. En forma reducida a/b con b positivo, basta comprobar p∤b. Entre esas fracciones, es unidad precisamente cuando p∤a: entonces b/a también tiene denominador permitido.
El residuo de a/b es a por el inverso de b en F_p. No se reduce una fracción cuyo denominador es cero módulo p sin antes buscar una representación equivalente permitida.
Una escritura no permitida puede ocultar una fracción permitida
¿Pertenece 3/6 a Z_(3)?
Primera escritura
El denominador seis es divisible por tres, así que no sirve directamente.
Reducir
3/6=1/2, y dos no es divisible por tres.Esta presentación sí es válida.
Unidad y residuo
Uno tampoco es divisible por tres.
Es unidad, con inversa dos y residuo 1·2=2 en F₃.
La pertenencia depende del racional, no de una escritura reducible.
Un tercio no tiene esa cancelación y queda fuera.
Calcular un residuo y su inversa local
a=2/3 en Z_(5).
Pertenencia
Tres no es múltiplo de cinco.
Residuo
El inverso de tres módulo cinco es dos; por ello el residuo de a es cuatro.
Inversa
Como dos tampoco es múltiplo de cinco, 3/2 pertenece al anillo y a·(3/2)=1.
Dos tercios es una unidad local.
El residuo de 3/2 es cuatro, que también es inverso de cuatro en F₅.
8. Al localizar un módulo se elimina solo la torsión anulada por S
Las fracciones m/s de un módulo se comparan por u(tm−sn)=0 para algún u∈S.
Un homomorfismo se localiza aplicándolo al numerador.
La localización conserva exactitud: imagen y núcleo siguen coincidiendo. Para ver la parte esencial, si f(m)/s se vuelve cero, algún u∈S cumple f(um)=0. La exactitud original da un antecedente para um, y dividir por us produce el antecedente de m/s en la sucesión localizada.
Dos partes de la torsión se comportan de forma distinta
M=Z/6Z, localizado en el primo tres.
Parte que muere
La clase [3] está anulada por dos.
Como dos se invierte, [3]/1=0.Parte que queda
La clase [2] tiene orden tres. Para anularla un entero debe ser múltiplo de tres, y esos no se invierten.
Contraste
Al localizar en dos sucede al revés: tres se invierte y mata [2], mientras [3] permanece.
La elección del primo determina qué torsión se ve.
No se dice que toda torsión desaparezca.
Una sucesión exacta puede simplificarse al localizar
0→Z → Z → Z/2Z→0, con primera flecha ×2.
En tres
Dos es una unidad de Z_(3); la primera flecha se convierte en un isomorfismo.
Cociente
El módulo Z/2Z se vuelve cero porque dos lo anula y es un denominador permitido.
En dos
Dos no se invierte. El cociente sigue siendo F₂ y la primera flecha no es sobreyectiva.
La exactitud permanece aunque los términos cambien.
En ambos casos la imagen sigue siendo exactamente el núcleo siguiente.
9. Localizar usa fracciones; completar añade límites
Z_(p) es un subanillo de Q. La completación p-ádica Z_p admite límites de sucesiones de enteros cada vez más congruentes. Ambos anillos son locales y tienen residuo F_p, pero la construcción y los elementos que admiten son diferentes.
Por ejemplo, el levantamiento de Hensel da en Z₇ una raíz de x²−2 empezando por tres módulo siete. Sus aproximaciones tres, diez y ciento ocho son cada vez más precisas. El límite no es racional porque √2 no lo es, y por tanto no pertenece a Z_(7).
Comprobar las primeras precisiones de una raíz
x²=2 en la completación siete-ádica.
Módulo siete
3²−2=7 es divisible por siete.Módulo cuarenta y nueve
10²−2=98=2·49, y diez es congruente con tres módulo siete.
Módulo trescientos cuarenta y tres
108²−2=11662=34·343 y 108 es congruente con diez módulo cuarenta y nueve. Hensel continúa el proceso porque 2·3 es no nulo módulo siete.
Las aproximaciones compatibles convergen en Z₇.
Estas tres cuentas no son por sí solas una prueba de la continuación infinita; se usa Hensel.
El mismo cuerpo residual no caracteriza el anillo
Comparar Z_(7) y Z₇.
Coincidencia
Ambos tienen maximal generado por siete y cociente F₇.
Diferencia
La raíz siete-ádica de dos pertenece a Z₇ y no puede ser una fracción racional.
Conclusión
No se deduce igualdad de anillos a partir de sus residuos. Para completar hacen falta la distancia y los límites.
La localización es previa a otra operación distinta: la completación.
Se está usando la raíz en Q₇, sin identificarla con una raíz real por una inclusión entre completaciones.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una unidad local
¿Es 7/10 una unidad en Z_(3)?
Elegir el anillo
En Z_(3) se permiten denominadores no divisibles por tres.
Pertenencia
Diez no es divisible por tres, así que 7/10 pertenece.
Candidato
La inversa racional sería 10/7.
Denominador de la inversa
Siete tampoco es divisible por tres, así que ese candidato pertenece a Z_(3).
Producto
(7/10)(10/7)=1.Residuo
7/10 da uno en F₃; es una unidad, coherente con la inversa encontrada.
Sí, con inversa 10/7.
El producto es 1.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un elemento no invertible
¿Es 6/5 una unidad en Z_(3)?
Pertenencia
Cinco no es divisible por tres, así que 6/5 está en Z_(3).
Numerador
Seis sí es divisible por tres: 6/5=3·(2/5).Maximal
Por ello pertenece a 3Z_(3), el ideal maximal.
Inversa racional
Su inversa sería 5/6, ya reducida y con denominador divisible por tres. No pertenece al anillo.
Residuo
Módulo tres el numerador da cero y cinco da dos, invertible; el cociente da cero.
Conclusión
No es unidad. Un elemento del maximal no puede tener una inversa dentro del mismo anillo.
No; pertenece al ideal maximal.
Su reducción en el cuerpo residual F₃ es 0.
Los símbolos que hemos usado
- S
- Subconjunto multiplicativo de R: contiene 1 y es cerrado bajo productos; aquí suponemos 0∉S.
- S⁻¹R
- Anillo obtenido al hacer invertibles los elementos de S.
- r/s
- Clase de equivalencia del par (r,s), con r∈R y s∈S.
- R_p
- Localización en el primo p: se invierten los elementos de R\p.
- m
- Único ideal maximal de un anillo local.
- κ(p)
- Cuerpo residual de R_p, igual a R_p/pR_p.
- Z_(p)
- Racionales con denominador no divisible por el primo p.
- Z_p
- Enteros p-ádicos, completación distinta de la localización Z_(p).
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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