Descomposición primaria de ideales

Un ideal I de R reúne las relaciones que se convierten en cero al pasar a R/I. En k[x]/(x³), cualquier polinomio se reduce a a+bx+cx², porque todos los términos de grado al menos tres desaparecen. La clase de x no es cero, pero su cubo sí: es nilpotente.

En cambio k[x]/(x) solo conserva constantes. Ambos ideales tienen el mismo cero x=0 en un cuerpo, aunque sus cocientes son diferentes. Un dibujo del soporte ayuda a localizar los ceros, pero no representa toda la información de las relaciones.

Contiene I. Si fᵐ y gⁿ están en I, cada término de (f+g)ᵐ⁺ⁿ tiene al menos m factores f o n factores g; por eso la suma también está en √I. Los múltiplos y los opuestos se tratan elevando a potencias. Así √I es un ideal.

Además √(√I)=√I: si alguna potencia de f está en √I, una nueva potencia de esa potencia está en I. Los conjuntos de ceros V(I) y V(√I) coinciden sobre cualquier cuerpo. La afirmación inversa que recupera ideales radicales desde ceros necesita las hipótesis del Nullstellensatz, en particular un cuerpo algebraicamente cerrado para el caso usual de polinomios.

Un ideal propio Q es primario si ab∈Q y a∉Q implican bⁿ∈Q para algún n≥1.

Por tanto todo primo es primario, pero un primario puede conservar nilpotencia.

En R/Q, la condición equivale a que todo divisor de cero sea nilpotente. Su radical es primo: si ab∈√Q, entonces aᵐbᵐ∈Q; si a∉√Q, aᵐ∉Q y la condición primaria obliga a una potencia de b a entrar en Q. Exigimos Q propio, igual que al definir primo.

En Z o k[x], para un irreducible π, el ideal (πᵐ) es primario. Si ab contiene al menos m factores π y a no los contiene todos, b contiene alguno; elevar b a m garantiza suficientes. El radical es (π).

Irreducibles distintos generan ideales comaximales y lo mismo ocurre con sus potencias. Así la factorización de un elemento da una intersección de ideales primarios. Esta conclusión usa el dominio principal; no se aplica sin más a cualquier potencia de cualquier ideal primo.

Para ver por qué la hipótesis anterior importa, trabajemos en R=k[x, y, z]/(xy−z²). Las letras designan sus clases.

Esto contradice exactamente la condición primaria.

Siempre IJ⊆I∩J: cada producto de un elemento de I y uno de J está en ambos, y lo mismo sus sumas.

Por tanto comaximalidad es una condición suficiente para I∩J=IJ. No es una condición necesaria en todos los anillos y no se elimina sin comprobar el caso. En Z, la intersección usa el mínimo común múltiplo y el producto multiplica generadores.

El teorema de Lasker–Noether afirma que todo ideal propio de un anillo conmutativo noetheriano admite una intersección finita de ideales primarios. Es un teorema de existencia; aquí lo enunciamos y desarrollamos ejemplos verificables, sin presentar las cuentas como una prueba general.

Una descomposición mínima tiene componentes irredundantes y radicales distintos. Irredundante significa que quitar cualquiera cambia la intersección. Mínima no significa que cada ideal primario sea el menor de todos los posibles.

En una descomposición primaria mínima, los radicales son los primos asociados de R/I. Los mínimos entre ellos son los primos mínimos sobre I y sus componentes primarias son únicas. Los demás se llaman embebidos; sus componentes pueden cambiar.

Ambos cocientes son isomorfos a k[ε]/(ε²): en el primero y=0; en el segundo y=x. En los números duales, a+bε es unidad si a≠0, con inversa a⁻¹−ba⁻²ε; si a=0 es nilpotente. Por el criterio del cociente, ambos Q son primarios con radical (x, y).

Para I=(x², xy), cada generador pertenece a (x) y a Q₁=(x², y), así que I⊆(x)∩Q₁. Para la vuelta, un elemento de (x) es xh. Módulo Q₁ queda ε·h(0,0), pues todo término de h con x o y se anula al multiplicarlo por ε.

Así ambas intersecciones son exactamente I.

El anulador de una clase m∈R/I es el ideal de r tales que rm=0. Un primo asociado aparece como anulador de alguna clase no nula. Para I=(x², xy), las clases de x y de y no son cero y revelan dos comportamientos diferentes.

Para y, anular ry obliga a x∣r porque x∣ry y x no divide y; si r=xh, entonces ry=xhy pertenece siempre a I, sin otra condición sobre h. Así el anulador de y es exactamente (x).

Para proponer I=∩Qᵢ, primero se verifica la condición primaria de cada Qᵢ y su radical. Después se demuestran ambas inclusiones de la igualdad. Si se afirma minimalidad, se comprueba irredundancia y radicales distintos. Estos son requisitos diferentes.

Calcular solo √I o dibujar V(I) no resuelve la descomposición: esas operaciones olvidan nilpotencia. Los ejemplos de enteros sirven para practicar divisibilidad; el de k[x, y] muestra por qué en varias variables aparece información adicional.