Dimensión y teoría de la integralidad

Un ideal primo p es propio y cumple que ab∈p implica a∈p o b∈p. Equivale a que R/p sea un dominio. Una cadena p₀⊊…⊊p_d tiene longitud d: se cuentan inclusiones, no ideales. La dimensión de R es el supremo de esas longitudes, que puede ser infinito.

Esta medida no es la dimensión vectorial sobre un cuerpo ni el número de generadores del anillo. Primero se declara qué dimensión se está calculando; después se buscan cadenas y cotas que impidan hacerlas más largas.

En k[x, y], los cocientes por (0), (x) y (x, y) son dominios: k[x, y], k[y] y k. La cadena correspondiente tiene dos inclusiones estrictas. Eso prueba dimensión al menos dos.

Para la igualdad usamos además el teorema de dimensión: k[x₁,…, x_n] tiene dimensión n. En una variable la cota superior es elemental: k[x] es principal, sus primos no nulos son generados por irreducibles y son maximales. No cabe otro primo entre ellos y uno mayor propio.

Para una inclusión R⊆S, un elemento b∈S es integral sobre R si satisface con todos los a_i en R y coeficiente principal uno. Eso permite despejar bⁿ y reducir cualquier potencia superior mediante multiplicación y resta.

De esta forma R[b] queda generado como R-módulo por 1, b,…, bⁿ⁻¹. No se exige que esa lista sea una base. Recíprocamente, si R[b] es finito como módulo, multiplicar sus generadores por b produce una matriz de relaciones; aplicar su adjunta da un polinomio mónico que anula todo R[b], y en particular a uno.

Así b es integral.

Sobre un cuerpo, un polinomio no nulo puede dividirse por su coeficiente principal y hacerse mónico. Por eso algebraico implica integral. Sobre Z no se pueden introducir denominadores y seguir afirmando que los coeficientes son enteros.

Si a/b reducido, con b>0, satisface una ecuación mónica entera de grado n, multiplicarla por bⁿ muestra que aⁿ es múltiplo de b.

Los racionales integrales sobre Z son exactamente los enteros.

Si b_i satisface una ecuación mónica de grado d_i, los monomios con exponente de b_i menor que d_i generan R[b₁,…, b_r]. Hay a lo sumo el producto de los d_i: cualquier exponente alto se reduce. Toda extensión finita como módulo es integral por el argumento de determinantes.

Esto prueba que las sumas y productos de elementos integrales siguen siendo integrales. También hay transitividad: una ecuación sobre S usa solo finitos coeficientes integrales sobre R; el anillo generado por ellos es finito sobre R y, al adjuntar el elemento, sigue siéndolo. Una extensión integral sin finita generación como álgebra no tiene por qué ser finita como módulo.

Para una inclusión integral R⊆S, existencia asegura un primo q de S sobre cada primo p de R: su contracción q∩R es p. Ascenso asegura que, si p⊆p′ y q está sobre p, puede elegirse q′⊇q sobre p′. Son teoremas que aquí enunciamos con sus hipótesis.

Así una cadena finita de R se levanta a S. Las inclusiones levantadas son estrictas porque sus contracciones son distintas.

Puede haber varios primos sobre uno mismo: existencia no es unicidad.

Incomparabilidad afirma que dos primos comparables de S con la misma contracción en una extensión integral son iguales. Por ello una cadena estricta de S se contrae a una cadena estricta de R.

Junto con existencia y ascenso resulta dim S=dim R para una inclusión integral. Para un homomorfismo no inyectivo se compara con su imagen R/ker f, no necesariamente con todo R. Un cociente puede disminuir la dimensión aun siendo finito como módulo.

Un dominio R es íntegramente cerrado si todo elemento de su cuerpo de fracciones integral sobre R ya pertenece a R. No prohíbe elementos integrales en cuerpos mayores. La clausura integral añade, dentro del cuerpo elegido, los elementos integrales que faltan.

Para R=k[t², t³]⊆k[t], el elemento t pertenece al cuerpo de fracciones de R porque t=t³/t². Es integral, pues satisface T²−t²=0 con coeficientes en R, pero no está en R: los exponentes generados por dos y tres no incluyen uno. La normalización añade ese elemento y elimina este defecto, conservando dimensión.