Factorización de polinomios

Podemos agruparlo como 5(x + 2). La multiplicación de cinco por todo el paréntesis devuelve exactamente la suma original.

No hemos quitado una parte ni cambiado el valor de la expresión. Hemos reorganizado sus factores. Es distinto de resolver 5x + 10 = 0: esa ecuación añadiría una condición. Factorizar por sí solo no obliga a que la expresión valga cero.

Para 12x³ + 18x², los coeficientes 12 y 18 tienen máximo común divisor seis. Ambas partes literales contienen al menos x²; no podemos extraer x³ de un término que solo tiene x² sin introducir fracciones. Elegimos 6x².

Dividimos cada término por ese factor para conocer lo que queda: 12x³ = 6x² · 2x y 18x² = 6x² · 3. Resultado: 6x²(2x + 3). Si un término coincide exactamente con el factor extraído, dentro queda uno, no cero. Podemos escoger también un factor negativo si ayuda a escribir el paréntesis.

Al leer la identidad al revés, x² − 25 se convierte en (x − 5)(x + 5). Reconocemos primero las bases de los cuadrados: x y cinco.

La resta entre cuadrados es esencial. x² + 25 no se factoriza en factores lineales reales mediante esta identidad: la suma no tiene los cruces que se cancelan como en la resta. Tampoco reemplazamos una diferencia por el cuadrado de una diferencia; son estructuras distintas.

En x² + 10x + 25, los extremos son x² y 5². El doble producto de sus bases es 2 · x · 5 = 10x, justo el centro. Por eso podemos escribir (x + 5)².

Si el centro fuera −10x, correspondería a (x − 5)². Si fuera 9x, no podríamos usar ese cuadrado: los extremos por sí solos no bastan. Revisar las tres partes evita fabricar una identidad falsa.

Al desarrollar (x + m)(x + n), obtenemos x² + (m + n)x + mn. Para recuperar esos factores desde x² + bx + c necesitamos m + n = b y mn = c. Las dos condiciones deben cumplirse a la vez.

Para x² + x − 12 buscamos producto −12 y suma uno.

Por eso queda (x + 4)(x − 3). La tabla permite reconstruir los cuatro productos y ver el término central.

Si buscamos factores enteros, podemos probar las parejas de divisores del término independiente y sus signos. Producto positivo exige signos iguales; producto negativo, signos opuestos. Después elegimos por la suma. No existe siempre una pareja entera adecuada.

Queremos factorizar 2x² + 7x + 3. Buscamos dos números con producto 2 · 3 = 6 y suma siete: seis y uno. Reescribimos 7x como 6x + x. Así la expresión queda 2x² + 6x + x + 3.

Agrupamos: 2x(x + 3) + 1(x + 3). Ahora el factor común es el bloque completo x + 3: queda (2x + 1)(x + 3). Partir el término central no modifica la suma; permite construir dos grupos con un paréntesis igual.

Una raíz de un polinomio es un valor que lo hace cero. Si tenemos la ecuación (x − 2)(x + 4) = 0, el producto es cero cuando al menos uno de sus factores es cero. Por tanto, x − 2 = 0 o x + 4 = 0: las raíces son dos y menos cuatro.

Esta regla necesita que el producto esté igualado a cero.

El conjunto de números admitido cambia qué factores podemos escribir. x² − 2 no tiene factores lineales con coeficientes enteros, pero en los reales sí: (x − √2)(x + √2). En los reales, x² + 1 nunca vale cero, así que no tiene factores lineales reales.

No encontrar una pareja entera no significa que cualquier factorización sea imposible.

Primero ordenamos y reducimos semejantes. Después miramos si todos los términos tienen factor común. Al extraerlo puede aparecer una diferencia de cuadrados o un trinomio conocido. Si usamos agrupación, los grupos deben producir el mismo factor, con signos compatibles.

La comprobación final consiste en desarrollar todos los factores y recuperar cada término original. No basta comprobar solo el de mayor grado o solo la constante. Si además probamos un número, sirve para detectar errores, pero la distributiva justifica la igualdad general.