Un producto notable es una multiplicación que aparece tantas veces que conviene reconocer su patrón. Primero la haremos completa para entender de dónde sale. Después el patrón nos ahorrará trabajo sin ocultar los términos que estamos sumando.
Si necesitas repasar:
1. Una identidad dice que dos expresiones siempre dan el mismo valor
En 3(x+4), el 3 multiplica a toda la suma: 3x+12. Es la distributiva. Con dos paréntesis, cada término del primero multiplica a cada término del segundo. No elegimos solo los extremos.
Una identidad vale para todos los valores de sus variables en el dominio indicado. Es distinta de una ecuación como x+4=7, que solo se cumple para ciertos valores. Aquí trabajamos con números reales y variables que conmutan al multiplicarse.
Cuatro productos antes de agrupar
Desarrollar (x+2)(x+6).
Desde x
x·x+x·6=x²+6x.Desde 2
2·x+2·6=2x+12.Reunir
x²+6x+2x+12=x²+8x+12.
La multiplicación completa tiene cuatro aportaciones.
6x y 2x son semejantes; x² y 12 no lo son.
Identidad frente a condición
Comparar 2(x+1)=2x+2 y 2(x+1)=8.
Primera
Distribuir produce la misma expresión para cualquier x.
Segunda
2x+2=8 exige x=3.Diferencia
La primera transforma una expresión; la segunda busca valores.
No se resuelve una identidad como si tuviera una sola raíz.
En x=0 la primera sigue siendo cierta y la segunda no.
2. Elevar una suma al cuadrado repite el paréntesis entero
(a+b)² significa (a+b)(a+b), no a²+b². Distribuir da a²+ab+ba+b². Como ab=ba, los dos productos centrales suman 2ab: 
.
.El signo del término central procede de los productos con −b; no se cambia otra vez después.
El dibujo cuenta los productos cruzados
Desarrollar (x+2)².
Repetir
(x+2)(x+2).
Distribuir
x²+2x+2x+4.
Agrupar
x²+4x+4.
Los dos rectángulos explican el 4x.
Para x=3: 5²=25 y 9+12+4=25.
El primer bloque también se eleva completo
Desarrollar (3x−2)².
Identificar
a=3x; b=2, con resta.Sustituir
(3x)²−2·(3x)·2+2².
Calcular
9x²−12x+4.
El cuadrado del primer bloque es 9x².
No es 3x²; (3x)(3x)=9x².
3. En un cubo hay ocho productos que se agrupan de cuatro maneras
(a+b)³ contiene tres factores. Al distribuir, cada producto elige a o b de cada uno. Hay una elección aaa, tres con dos aes, tres con una a y una bbb.
Como se pueden reordenar estos factores, obtenemos 
. También se deduce multiplicando el cuadrado ya conocido por a+b. Los exponentes de cada monomio suman tres.
Un cubo con coeficiente
Desarrollar (2x+1)³.
Bloques
a=2x y b=1.Cuatro aportes
(2x)³+3(2x)²·1+3(2x)·1²+1³.
Operar
8x³+12x²+6x+1.
Se eleva el coeficiente junto con la variable.
En x=1, 27=8+12+6+1.
Deducirlo sin memorizar
Multiplicar (y+3)² por (y+3).
Cuadrado
y²+6y+9.
Distribuir
y³+3y²+6y²+18y+9y+27.
Agrupar
y³+9y²+27y+27.
El cubo no se obtiene sumando solo dos cubos.
Los dos grupos de términos intermedios se conservan.
4. Para un cubo con resta seguimos el signo de cada bloque
Reemplazar b por −b cambia el signo de los términos que contienen una potencia impar de b y conserva los de potencia par.
.Conviene escribir las cuatro sustituciones antes de simplificar, sobre todo cuando a también contiene un coeficiente o potencia. El patrón alternado es una consecuencia de los productos, no una licencia para poner signos sin mirar los bloques.
El tercer término sigue sumando
Desarrollar (x−2)³.
Sustituir
x³−3x²·2+3x·2²−2³.
Calcular
x³−6x²+12x−8.
Revisar signo
El término 12x procede de dos factores −2.
El coeficiente de x es +12.
En x=0 queda −8, igual que (−2)³.
Potencias dentro de los bloques
Desarrollar (y²−3)³.
Bloques
a=y² y b=3.Sustituir
(y²)³−3(y²)²·3+3y²·9−27.
Simplificar
y⁶−9y⁴+27y²−27.
Los exponentes se multiplican al elevar una potencia.
(y²)³=y⁶, no y⁵.
5. Si los binomios comparten un término, agrupamos sus dos productos centrales
En (t+a)(t+b), distribuir produce t²+bt+at+ab.
.Los números a y b incluyen su signo.
La fórmula no obliga a que el coeficiente principal sea uno; obliga a identificar correctamente el bloque común.
Una suma y un producto con signo
Desarrollar (x−4)(x+6).
Valores
a=−4, b=6.Suma y producto
a+b=2; ab=−24.Resultado
x²+2x−24.
El signo de ab se calcula aparte.
Multiplicar completo da x²+6x−4x−24.
El término común no es solo x
Desarrollar (3x+2)(3x−5).
Bloque
t=3x, a=2, b=−5.Patrón
t²−3t−10.
Sustituir t
9x²−9x−10.
No se pierde el 3 del término común.
El coeficiente de x sale de 6x−15x=−9x.
6. Los conjugados y las sumas de cubos tienen patrones distintos
Los binomios conjugados son (a+b) y (a−b).
.Es una diferencia de cuadrados, no el cuadrado de una resta.
y 
.Estas son factorizaciones de una suma o diferencia de cubos; (a±b)³, en cambio, es un cubo de binomio y tiene cuatro términos.
Calcular sin multiplicación larga
Calcular 29·31.
Centro
29=30−1 y 31=30+1.Conjugados
(30−1)(30+1)=30²−1².Resultado
900−1=899.
Los productos centrales se cancelan.
No se usa 30²−2·30+1, que sería 29².
Reconocer cubos separados
Factorizar 8x³+27.
Bloques
8x³=(2x)³ y 27=3³.Aplicar
(2x+3)((2x)²−(2x)·3+3²).
Simplificar
(2x+3)(4x²−6x+9).
No es (2x+3)³.
Multiplicar da 8x³ y 27, con los términos centrales cancelados.
7. Leer una identidad al revés exige comprobar todos sus términos
Para reconocer un cuadrado perfecto, los extremos deben ser cuadrados y el término central debe ser exactamente ±2ab. No basta con que haya tres términos. Para reconocer un cubo también deben coincidir los dos términos intermedios.
En x²+sx+p buscamos a y b cuya suma sea s y producto p. Solo si ambas condiciones se cumplen podemos escribir (x+a)(x+b). Esta operación inversa conecta los productos notables con la factorización.
Un extremo correcto no basta
Comparar x²+10x+25 y x²+10x+16.
Primer caso
Extremos x² y 5²; 2·x·5=10x: (x+5)².Segundo
Extremos x² y 4² exigirían 8x, no 10x.
Conclusión
El segundo no es un cuadrado de binomio con esos extremos.
Se revisa el término central.
Puede tener otra factorización: no ser cuadrado perfecto no significa no poder factorizar.
Comprobar suma y producto
Factorizar x²−x−12.
Producto negativo
Los números tienen signos distintos.
Probar
−4 y 3: suman −1 y multiplican −12.
Resultado
(x−4)(x+3).
Se necesitan las dos condiciones.
−6 y 2 multiplican −12 pero suman −4: no sirven.
8. Usamos los coeficientes y las constantes para detectar errores
En un desarrollo, el término independiente se obtiene poniendo la variable igual a cero. El grado y el coeficiente del término mayor también se anticipan multiplicando los términos de mayor grado. Estos controles detectan muchos fallos.
No sustituyen el desarrollo: una coincidencia en un punto no demuestra una identidad. Para cuentas mentales elegimos un centro cómodo que convierta los factores en conjugados o en un cuadrado próximo.
Control rápido de un cubo
Anticipar datos de (4x−3)³.
Mayor grado
(4x)³=64x³.Constante
En x=0 queda (−3)³=−27.Completar
64x³−144x²+108x−27 conserva ambos controles.
Un resultado con 4x³ o +27 ya estaría mal.
Los coeficientes intermedios salen de la identidad, no de estos dos controles.
Cuadrado cercano
Calcular 98².
Separar
98=100−2.Desarrollar
100²−2·100·2+2².
Calcular
10000−400+4=9604.
El término central cuenta dos productos.
10000−4=9996 correspondería a 98·102.
9. La distributiva demuestra la identidad para todos los valores
Los ejemplos numéricos sirven para comprobar una cuenta y entender el patrón. La demostración general se obtiene al distribuir con letras y agrupar términos semejantes. Así no dependemos de probar una lista de valores.
La igualdad ab=ba que hemos usado es válida para números reales y polinomios conmutativos.
Tampoco se suman x² y x como si fueran semejantes.
Una prueba falsa puede pasar un ejemplo
Revisar la supuesta identidad (x+1)²=x²+1.
En cero
Ambas dan 1: esa prueba no decide.
En uno
La izquierda da 4 y la derecha 2: queda refutada.
Deducción correcta
Distribuir da x²+2x+1 para todo x.
Un contraejemplo refuta; un acierto aislado no prueba.
El producto cruzado perdido explica el error.
Por qué importa el orden en otras matemáticas
Usar A=[[0,1],[0,0]] y B=[[0,0],[1,0]].
Productos
AB=[[1,0],[0,0]] y BA=[[0,0],[0,1]].Cuadrados
A²=B²=0 y (A+B)² es la identidad.Comparar
2AB=[[2,0],[0,0]], que no es la identidad.
El patrón numérico necesita su condición de conmutatividad.
La expansión con AB+BA sí sigue siendo válida.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Cubo de binomio
Desarrolla (x+2)³.
Estructura
(x+2)³ es cubo de una suma.
Bloques
a=x, b=2.Primeros términos
a³=x³; 3a²b=6x².Últimos términos
3ab²=12x; b³=8.Reunir
x³+6x²+12x+8.
Comprobar
En x=1: 27=1+6+12+8.La identidad general procede de distribuir.
x³+6x²+12x+8.
En x=1: 27=1+6+12+8.
EJEMPLO RESUELTO 2
Término común
Desarrolla (x+3)(x+5).
Estructura
(x+3)(x+5) comparte x.
Cuatro productos
x²+5x+3x+15.
Suma central
5x+3x=8x.Constante
3·5=15.Resultado
x²+8x+15.
Comprobar
Suma de constantes 3+5=8 y producto 3·5=15.
x²+8x+15.
La suma de 3 y 5 fija el coeficiente lineal.
Los símbolos que hemos usado
- a,b
- Bloques algebraicos que pueden ser números, monomios o expresiones.
- (a+b)³
- Producto de tres copias de la suma a+b.
- Coeficiente
- Número que multiplica una potencia o monomio.
- Término independiente
- Parte de un polinomio que no contiene la variable.
- Identidad
- Igualdad válida para todos los valores admisibles de sus variables.
- Factorizar
- Escribir una expresión como producto de factores.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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