Identidades notables

La igualdad 2(x + 1) = 2x + 2 es verdadera para cualquier número real x: la distributiva la justifica. La llamamos identidad. En cambio, x + 1 = 4 es una ecuación que solo cumple x = 3. Un signo igual por sí solo no indica que algo sea una identidad.

Los productos notables son identidades que aparecen con frecuencia. Sirven para transformar expresiones sin cambiar su valor. No sustituyen a la multiplicación de polinomios: resumen productos que podemos volver a desarrollar para comprobar de dónde salen.

Al partir cada lado en cuatro y dos, quedan cuatro regiones: un cuadrado de 4 × 4 = 16 cm², dos rectángulos de 4 × 2 = 8 cm² cada uno, y un cuadrado de 2 × 2 = 4 cm².

Las cuatro piezas cubren el interior sin solaparse: 16 + 8 + 8 + 4 = 36 cm². Si hiciéramos solo 4² + 2² = 20, faltarían los dos rectángulos. Esa es la razón visual por la que el cuadrado de una suma no es, en general, la suma de cuadrados.

(a + b)² significa (a + b)(a + b). Distribuimos a por los dos términos: a² + ab. Después b por los dos: ba + b². Como ab = ba, los dos productos del centro suman 2ab.

La identidad queda (a + b)² = a² + 2ab + b². «El primero al cuadrado, el doble producto y el segundo al cuadrado» solo resume esos cuatro productos. La demostración algebraica vale también para valores negativos; el dibujo de áreas usaba longitudes positivas para poder verlo.

Los cuatro productos son a², −ab, −ab y +b².

Los dos cruces suman −2ab.

No es a² − b². Una resta entre cuadrados corresponde a otro producto que veremos después. Si dudas de un signo, vuelve a escribir los dos paréntesis y multiplica cada término.

Ahora multiplicamos dos factores distintos: (a + b)(a − b). Los cuatro productos son a², −ab, +ab y −b².

Por eso queda a² − b².

Reconocemos los mismos dos bloques, una vez sumados y otra restados. No la usamos para (a − b)², porque ahí ambos factores son la misma diferencia y los cruces no se cancelan.

En (x² + 3)², el primer bloque es x².

Resultado: x⁴ + 6x² + 9. Identificar primero los bloques evita tratar x² como si fuera solo x.

Cada bloque recibe la operación completa: al cuadrar x/2, se cuadran tanto el numerador como el denominador. No existe una regla nueva para fracciones: seguimos la misma identidad.

Si vemos x² + 6x + 9, buscamos dos cuadrados: x² y 3².

Las tres piezas coinciden, así que x² + 6x + 9 = (x + 3)². Este proceso escribe una suma como producto: se llama factorizar.

No basta con que los extremos sean cuadrados. x² + 5x + 9 no es (x + 3)², porque su término central debería ser 6x. Para una diferencia de cuadrados a² − b², podemos escribir los factores (a − b)(a + b).

Para calcular 21², escribimos (20 + 1)².

No hemos cambiado la cuenta: la hemos expresado en productos más sencillos.

Elegimos un centro común y la misma distancia a cada lado. Que dos números estén cerca no basta para usar cualquier identidad: necesitamos reconocer exactamente sus bloques.

Antes de aplicar una fórmula, comprueba: ¿hay dos factores iguales formando un cuadrado?, ¿es una suma o una diferencia?, ¿son conjugados con los mismos bloques? Si el producto es (x + 2)(x + 5), no es un cuadrado ni una suma por diferencia: distribuimos normalmente.

Para revisar un resultado podemos sustituir un valor sencillo. Si falla, sabemos que hay un error. Si coincide, aún necesitamos que los pasos algebraicos estén justificados. Estas identidades valen para todos los valores reales de sus bloques; los ejemplos numéricos ayudan a comprobar, no sustituyen la demostración.