EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula la norma de operador de diag(1,−5).
- PISTA 1
Una pista
Máximo de módulos.
Un desarrollo posible.
La norma de una diagonal en C² es el máximo de los módulos de sus entradas.
Los módulos son |1|=1 y |−5|=5.
El máximo es 5 y se alcanza en el vector (0,1).
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Si ||a||=4, calcula ||a*a||.
- PISTA 1
Una pista
Usa la identidad C*.
Un desarrollo posible.
La identidad C* afirma ||a*a||=||a||².
Sustituimos ||a||=4 y obtenemos ||a*a||=4².
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para f(x)=x² en [−2,2], calcula ||f||∞.
- PISTA 1
Una pista
Busca el máximo de x².
Un desarrollo posible.
En [−2,2], |f(x)|=|x²|=x².
Se cumple x²≤4 y la igualdad ocurre en x=−2 y x=2.
Por definición de norma supremo, ||f||∞=4.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba la identidad C* en C(X).
- PISTA 1
Una pista
Calcula sup |f|².
Un desarrollo posible.
El adjunto puntual es f*(x)=conj(f(x)), luego (f*f)(x)=|f(x)|².
Si M=sup|f|, todos los cuadrados son ≤M²; usando valores que se aproximan al supremo se obtiene sup|f|²=M².
Por tanto ||f*f||∞=||f||∞²; para X compacto el máximo además se alcanza.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué la adjunta invierte el orden de un producto.
- PISTA 1
Una pista
Usa el producto interno.
Un desarrollo posible.
Para operadores acotados, el adjunto se caracteriza por ⟨Au,v⟩=⟨u,A*v⟩.
Aplicando primero esta identidad a A y luego a B, ⟨ABx,y⟩=⟨Bx,A*y⟩=⟨x,B*A*y⟩.
La unicidad del operador adjunto obliga a (AB)*=B*A*.
El orden inverso es necesario para esta identidad.