Matrices y funciones continuas parecen objetos diferentes, pero ambas permiten sumar, multiplicar, tomar adjunto y medir tamaño. La identidad C estrella relaciona esas operaciones. Vamos a calcular primero en matrices de dos por dos y en funciones sencillas para entender qué parte de la teoría es común y qué depende de que el producto conmute.
Si necesitas repasar:
1. Una C estrella es un álgebra completa con un adjunto compatible con la norma
Un álgebra compleja tiene producto bilineal y asociativo, que no tiene por qué conmutar.
La norma es submultiplicativa y completa: ‖ab‖≤‖a‖‖b‖ y toda sucesión de Cauchy converge dentro del álgebra.
.No todas tienen unidad: los operadores compactos en un Hilbert infinito no la tienen. La unitización añade una unidad para definir espectros sin alterar los productos originales.
El orden del producto sí cambia
A=E₁₂ y B=E₂₁ en matrices dos por dos; Eᵢⱼ tiene uno en fila i y columna j.
Primer orden
AB=E₁₁, proyección sobre la primera coordenada.Segundo orden
BA=E₂₂, proyección sobre la segunda.Comparar
AB≠BA: el álgebra M₂(C) no es conmutativa.
Hay que conservar el orden de los factores.
Cambiarlo al tomar adjunto no es un permiso para cambiarlos en cualquier producto.
El adjunto invierte un producto concreto
Con las mismas A y B, ambas reales.
Adjuntos
A*=E₂₁ y B*=E₁₂.Regla
B*A*=E₁₂E₂₁=E₁₁.Comparar
AB=E₁₁ es autoadjunta, así que (AB)*=B*A*.
La inversión de orden da el resultado correcto.
A*B*=E₂₂ daría otra matriz y no cumple la regla.
2. La identidad C estrella determina también el tamaño del adjunto
Aplicar lo mismo a a* da la desigualdad inversa.
En B(H), la norma de operador satisface el axioma: ‖Tx‖²≤‖T*T‖‖x‖² da ‖T‖²≤‖T*T‖, y la submultiplicatividad da el otro sentido. No cualquier norma equivalente sobre matrices satisface esa igualdad, aunque haga completo el mismo espacio vectorial.
Aplicar el axioma sin conocer la matriz
‖a‖=4.
Adjunto
‖a*‖=4.Producto especial
‖a*a‖=‖a‖²=16.Producto cualquiera
Para ab solo se garantiza en general ‖ab‖≤4‖b‖.
La igualdad exacta corresponde al producto a*a.
No se convierte submultiplicatividad en igualdad para todos los pares.
Una norma matricial completa que no es norma C estrella
Norma de Frobenius y matriz I₂.
Norma
La suma de cuadrados de entradas es dos: ‖I₂‖_F=√2.Producto
I₂*I₂=I₂, cuya norma de Frobenius sigue siendo √2.Comparar
‖I₂‖_F²=2, distinto de √2.
La norma de Frobenius falla el axioma C estrella.
La norma de operador de I₂ es uno y sí cumple la identidad.
3. Las matrices y las funciones dan dos ejemplos completos
En 
(C), a* es la transpuesta conjugada y usamos norma de operador sobre Cⁿ euclídeo. Para una diagonal diag(λ₁,…, λ_n), la norma es max|λ_j|: cada coordenada se estira por ese módulo y una coordenada máxima alcanza la cota.
En C(X), con X compacto Hausdorff, el producto es puntual, el adjunto es conjugación y ‖f‖=sup|f|. Es conmutativa y unital. Para X localmente compacto no compacto se usa C₀(X), las funciones continuas que se anulan en el infinito, que en general no tienen unidad.
La diagonal del ejercicio
A=diag(2,−3i).
Módulos
Los factores tienen módulos dos y tres.
Cota
‖Ax‖²=4|x₁|²+9|x₂|²≤9‖x‖².Alcanzar
Para e₂, ‖Ae₂‖=3; por tanto ‖A‖=3.
La fase −i no cambia el módulo de la segunda componente.
A*A=diag(4,9) tiene norma nueve, como exige el axioma.
Una función continua cumple la misma identidad
f(x)=2x en [0,1].
Norma
El máximo de |2x| es dos.
Adjunto y producto
f*=f por ser real, y f*f=4x².Norma del producto
Su máximo es cuatro, igual a ‖f‖².
El axioma se reduce aquí a máximos de funciones ordinarias.
No se ha usado multiplicación de matrices: el producto es punto por punto.
4. Normalidad es la condición que permite igualar norma y radio espectral
Una isometría solo exige u*u=1: en dimensión infinita puede no ser unitaria.
En una C estrella unital no nula, el espectro σ(a) es compacto y no vacío. Para autoadjuntos es real; para unitarios está en el círculo unidad; para proyecciones, en {0,1}.
Fuera de normalidad esa igualdad puede fallar.
Norma uno y espectro solo cero
N=E₁₂.
Acción
N(x₁, x₂)=(x₂,0), así que ‖N‖=1.Espectro
N²=0; ambos autovalores son cero y σ(N)={0}.Normalidad
N*N=E₂₂, pero NN*=E₁₁: no es normal.
El radio espectral es cero y la norma uno, sin contradicción.
La igualdad entre ambos se había enunciado para normales.
Una isometría infinita que no es unitaria
S(x₁, x₂,…)=(0, x₁, x₂,…) en ℓ².
Norma
Conserva la suma de cuadrados y S*S=I.Otro orden
SS* borra la primera coordenada y deja las demás.
Fallo
SS*≠I, así que S no es unitario.
Conservar normas no implica cubrir todo el Hilbert.
En dimensión finita una isometría cuadrada sí es sobreyectiva; aquí importa la dimensión infinita.
5. El cálculo funcional continuo aplica funciones al espectro de un normal
Si a es normal en una C estrella unital, C*(1, a), generada por a, a* y 1 y cerrada en norma, es conmutativa. El cálculo funcional identifica isométricamente C(σ(a)) con C*(1, a), enviando la función coordenada a a y la constante uno a 1.
Esto define f(a) para toda f continua sobre el espectro, con σ(f(a))=f(σ(a)) y ‖f(a)‖=max en σ(a) de |f|. Una función característica discontinua no tiene por qué producir un elemento de la misma C estrella; el cálculo boreliano puede requerir pasar a un marco de operadores más amplio.
Una raíz cuadrada positiva
a=diag(1,9).
Espectro
σ(a)={1,9}, contenido en los reales no negativos.Función
f(t)=√t da f(a)=diag(1,3).Comprobar
f(a)²=diag(1,9)=a y ‖f(a)‖=3.
La raíz positiva se obtiene sin elegir signos independientes arbitrarios.
Hay otras matrices cuyo cuadrado es a; se distingue la raíz positiva única.
Una proyección discontinua no pertenece a C([0,1])
a(x)=x y f(t)=1 si t≥1/2, cero si t<1/2.
Espectro
El rango de a es todo [0,1].
Discontinuidad
f salta en un punto del espectro.
Álgebra
La composición f∘a no es continua y no pertenece a C([0,1]).
El cálculo continuo no autoriza introducir ese salto dentro de la misma álgebra.
En una representación en L² sí existe la multiplicación por esa función medible; es otro alcance de cálculo funcional.
6. Positivo no significa que todas las entradas de una matriz sean positivas
Un elemento positivo puede escribirse b*b; equivalentemente es autoadjunto con espectro no negativo. El cálculo funcional da la raíz cuadrada que demuestra la vuelta de la equivalencia.
Un estado es un funcional lineal positivo φ normalizado por φ(1)=1. Cumple Cauchy–Schwarz |φ(b*a)|²≤φ(a*a)φ(b*b) y tiene norma uno. En C(X), los estados corresponden a probabilidades de Borel regulares; evaluar en un punto es la medida concentrada allí.
Una matriz positiva tiene entradas negativas
B=[[1,−1],[0,0]] y A=B*B.
Multiplicar
A=[[1,−1],[−1,1]].Evaluar
Para x=(u, v), su forma cuadrática es |u−v|²≥0.Espectro
Sus autovalores son cero y dos, no negativos.
A es positiva aunque tenga dos entradas −1.
El orden se refiere a la forma de operador, no al orden componente a componente.
Un estado vectorial concreto
φ(A)=A₁₁ en M₂(C).
Linealidad
Tomar esa entrada respeta combinaciones complejas.
Positividad
φ(B*B)=|B₁₁|²+|B₂₁|²≥0.Normalizar
φ(I₂)=1.
Es un estado; observa la acción sobre el vector e₁.
Un estado no es en general multiplicativo: esa propiedad adicional corresponde a caracteres.
7. Gelfand recupera puntos cuando el álgebra es conmutativa
Un carácter es un homomorfismo complejo no nulo A→C que preserva productos. En una C estrella conmutativa unital es continuo y respeta el adjunto. El conjunto X de caracteres, con convergencia en cada elemento a, es compacto Hausdorff.
Gelfand da A≅C(X) mediante â(χ)=χ(a), de forma isométrica y respetando adjuntos. Para C(Y), los caracteres son evaluaciones en puntos de Y. Sin unidad se obtiene C₀(X) con X localmente compacto. No se aplica esta descripción por puntos a toda álgebra no conmutativa.
Un espacio de dos puntos
A=C² con producto componente a componente.
Funciones
(z, w) asigna z al primer punto y w al segundo.
Caracteres
χ₁(z, w)=z y χ₂(z, w)=w.Norma
‖(z, w)‖=max(|z|,|w|), que es el supremo en esos dos puntos.
El espacio de caracteres recupera los dos puntos.
Los estados incluyen también promedios de ambas evaluaciones y no todos son caracteres.
M dos no tiene caracteres
Suponer χ: M₂(C)→C no nulo y multiplicativo.
Productos
E₁₂E₂₁=E₁₁ y E₂₁E₁₂=E₂₂; como los escalares conmutan, χ(E₁₁)=χ(E₂₂).Idempotentes
Cada valor de esas proyecciones es cero o uno.
Unidad
Su suma debe ser χ(I₂)=1; dos valores iguales de {0,1} no pueden sumar uno.
No existe ese carácter, aunque el álgebra sea no nula.
La representación general necesita operadores sobre un Hilbert, no solo evaluaciones escalares.
8. GNS convierte un estado en un Hilbert y una acción por operadores
Dado un estado φ, ponemos 
={a: φ(a*a)=0}, un ideal por la izquierda. En A/ usamos ![\langle[a],[b]\rangle=\varphi(b^*a)](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-d9afdc47da8d.svg)
, lineal en la primera variable. Completamos para obtener 
.
(c)[a]=[ca].(c)‖≤‖c‖.El vector ξ=[1] es cíclico, pues (a)ξ=[a] llena un subespacio denso. Con esta convención de producto interno, φ(a)=⟨(a)ξ, ξ⟩.
GNS de una evaluación en dos puntos
A=C² y φ(z, w)=z.
Núcleo de seminorma
φ(a*a)=|z|², por lo que={(0, w)}.Cociente
Solo queda la primera coordenada:=C.Acción
(z, w) multiplica por z; no ve la segunda coordenada.
Esta representación GNS no es fiel.
El estado sirve para construir una representación, pero uno solo no tiene por qué observar toda el álgebra.
GNS del estado de la entrada uno uno
En M₂(C), φ(A)=A₁₁.
Seminorma
φ(A*A)=‖Ae₁‖², de modo que
son las matrices cuya primera columna es cero.Identificar
[A] corresponde al vector Ae₁∈C² y su norma es la euclídea.Multiplicar
(C)[A]=[CA] corresponde a C(Ae₁), la acción matricial usual.
Aquí =C² y ξ=e₁ es cíclico.
La identificación no conserva todas las entradas de A individualmente; conserva su clase y la acción por la izquierda.
9. Gelfand–Naimark representa toda C estrella, conmutativa o no
Los estados observan suficientes elementos positivos como para que la suma directa de sus representaciones GNS sea fiel. Gelfand–Naimark concluye que toda C estrella es isométricamente isomorfa, respetando adjuntos, a una subálgebra de B(H) cerrada en norma.
Un *-homomorfismo entre C estrella es automáticamente contractivo; si es inyectivo, es isométrico. Ser cerrado en norma no implica ser cerrado para las topologías débiles de operadores: eso pertenece a la teoría de von Neumann y depende de la representación. Ideales, cocientes y teoría K desarrollan otras preguntas estructurales.
Una representación puede perder una coordenada
π: C²→C, π(z, w)=z.
Álgebra
Respeta suma, producto y conjugación.
Cota
|z|≤max(|z|,|w|), así que es contractiva.No inyectiva
π(0,1)=0 aunque ‖(0,1)‖=1; no es isométrica.
La inyectividad importa para conservar exactamente la norma.
La contractividad sola no prohíbe borrar elementos.
Una representación fiel de dos puntos
π(z, w)=diag(z, w) en M₂(C).
Inyectividad
La matriz cero exige z=w=0.Operaciones
El producto diagonal y el adjunto coinciden con los de C².
Norma
La norma de operador es max(|z|,|w|), exactamente la original.
Se ve directamente el carácter isométrico del modelo concreto.
El teorema general extiende esta posibilidad a álgebras sin una descripción tan pequeña.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Norma diagonal
Calcula ||diag(2,−3i)|| como operador en C².
Matriz
A=diag(2,−3i).Vector
Para x∈C², ‖Ax‖²=4|x₁|²+9|x₂|².Cota
Eso es como máximo 9(|x₁|²+|x₂|²), así que ‖A‖≤3.Alcanzar
El vector unitario e₂ tiene imagen de norma tres.
Norma
Con ambas desigualdades, ‖A‖=3.Axioma
A*A=diag(4,9) tiene norma nueve, igual a ‖A‖².
La norma es 3.
A*A=diag(4,9) tiene norma 9=3².
EJEMPLO RESUELTO 2
Una función continua
Para f(x)=2x en [0,1], comprueba la identidad C*.
Función
f(x)=2x sobre [0,1].Norma
El máximo de |2x| se alcanza en uno y es dos.
Adjunto
La conjugación deja f igual porque sus valores son reales.
Producto
f*f=4x², cuyo máximo en el intervalo es cuatro.Comparar
‖f*f‖∞=4=2²=‖f‖∞².Conclusión
Se cumple la identidad C estrella con producto puntual y norma supremo.
La identidad se cumple.
La conjugación no cambia f porque es real.
Los símbolos que hemos usado
- A
- Álgebra compleja de Banach con producto asociativo e involución que satisface la identidad C*.
- a*
- Adjunto abstracto: involución conjugado lineal que invierte el orden de los productos.
- B(H)
- Álgebra de operadores lineales acotados en un Hilbert complejo H, con norma de operador.
- σ(a)
- Espectro: escalares λ para los que a−λ1 no es invertible; en el caso sin unidad se usa la unitización.
- C(X), C₀(X)
- Funciones continuas en un compacto Hausdorff X; o funciones que se anulan en el infinito si X es localmente compacto Hausdorff.
- a≥0
- Elemento positivo: a=b*b para algún b, equivalentemente a autoadjunto con espectro no negativo.
- φ, πφ
- Estado positivo normalizado y representación de Hilbert obtenida a partir de él por la construcción GNS.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →