Teoremas fundamentales de operadores lineales

T: X→Y lineal es continuo si y solo si ‖Tx‖≤C‖x‖ para algún C y todos los x.

La cota aplicada a x−y prueba que es Lipschitz. La equivalencia entre continuidad y acotación se demuestra escalando una bola de control en cero, igual que para funcionales.

En dimensión infinita no basta probar algunas direcciones. Para establecer una norma se necesita una cota sobre todos los vectores y una dirección o sucesión que pruebe optimalidad. Los teoremas posteriores ayudan a obtener alguna cota sin calcular de antemano el supremo exacto.

El teorema de Baire afirma que un espacio métrico completo no vacío no es unión numerable de cerrados con interior vacío. Equivalentemente, una intersección numerable de abiertos densos es densa. Interior vacío no significa conjunto vacío: una recta dentro de un plano puede ser no vacía y no contener ninguna bola del plano.

La idea de prueba es construir bolas cerradas anidadas dentro de un abierto inicial y de los sucesivos abiertos densos, con radios que tienden a cero, por ejemplo menores que 2⁻ⁿ. Los centros son Cauchy; la completitud da un límite que pertenece a todas las bolas y, por su elección, a cada abierto.

Así la intersección encuentra cualquier abierto inicial. En los teoremas de operadores se aplicará para forzar que algún conjunto de control contenga una bola.

Sea X Banach, Y normado y T_α: X→Y una familia de operadores lineales continuos. Si para cada x se tiene sup_α‖T_αx‖<∞, entonces sup_α‖T_α‖<∞. La hipótesis deja que la cota dependa de x; la conclusión produce C con ‖T_αx‖≤C‖x‖ para todos los índices y vectores.

Y no necesita ser completo. La conclusión es una acotación, no convergencia de la familia ni igualdad de cotas puntuales. Cada operador debe ser continuo: la completitud del dominio no convierte en continuas aplicaciones lineales arbitrarias.

Es cerrado como intersección de las preimágenes de bolas cerradas mediante los operadores continuos.

Tanto x₀ como x₀+h pertenecen a esa bola, así ‖T_αh‖=‖T_α(x₀+h)−T_αx₀‖≤2k.

Tomar el supremo unitario demuestra la conclusión para todos los índices a la vez.

Si Tₙx converge para todo x y cada Tₙ es continuo, entonces sus imágenes están acotadas para cada x. Con X Banach, acotación uniforme da una cota común C. Linealidad pasa al límite y ‖Tx‖≤C‖x‖, por lo que T es continuo. No se concluye convergencia en norma de operadores.

Sin completitud puede fallar ya la acotación de normas: en c₀₀ con norma supremo, Tₙx=nxₙ tiene norma n, aunque cada vector de soporte finito tenga solo finitas imágenes no nulas. También puede fallar la continuidad del límite puntual, como muestra la segunda construcción.

Aplicación abierta: si X, Y son Banach y T: X→Y es lineal continuo y sobreyectivo, entonces es abierto. Basta obtener c>0 con B_Y(0, c)⊆T(B_X(0,1)); por traslación y escalado se obtiene una vecindad en la imagen alrededor de cualquier punto de cualquier abierto. No se exige inyectividad.

Por sobreyectividad, Y es unión de T(mB_X), m enteros positivos. Baire aplicado a sus clausuras proporciona B(y₀, r) contenida en una de ellas.

Falta convertir aproximación en preimagen exacta. Para ‖y‖<δ/2 se elige x₁ con ‖x₁‖<1/2 y error menor que δ/4; después x₂ con ‖x₂‖<1/4 y error restante menor que δ/8, y así. Las normas son menores que 2⁻ʲ y los errores decrecen geométricamente.

Así B(0, δ/2)⊆T(B_X), cerrando el paso que la mera densidad no proporciona.

Una biyección lineal continua entre Banach tiene inversa continua porque es abierta.

Esa cota inferior impide que entradas grandes produzcan salidas arbitrariamente pequeñas.

El teorema asegura que existe una constante para ese operador; no que todas las biyecciones de una familia compartan una buena constante ni que sea fácil calcularla. Al resolver Tx=y, la norma inversa mide cuánto puede amplificarse un error de y en la solución.

Sea T: X→Y lineal, definido en todo X, y sean X, Y Banach.

El teorema del gráfico cerrado dice que esa condición basta para que T sea continuo.

La prueba usa el gráfico como espacio: al ser un subespacio cerrado del producto Banach, es Banach con norma ‖x‖+‖Tx‖.

Su inversa es continua por inversa acotada; componerla con la proyección hacia Y recupera T. La hipótesis de dominio entero asegura la sobreyectividad de π_X.

Consideremos Df=f′ con dominio C¹([0,1]) dentro de C([0,1]), midiendo funciones y salidas con supremo.

Su gráfico es cerrado.

Eso no vuelve acotada a D en la norma supremo de la entrada, porque su dominio no es todo C y C¹ con esa sola norma no es Banach. Si se usa la norma del gráfico ‖f‖∞+‖f′‖∞, sí se vuelve Banach y D queda continuo. Cambiar el dominio normado cambia las hipótesis y la pregunta.