Operadores no acotados y teoría espectral

En un Hilbert H, un operador lineal T es una aplicación definida en un subespacio D(T) de H y con valores en H. Acotado en su dominio significa que existe C con ‖Tx‖≤C‖x‖ para todo x de ese dominio. Si es denso, un operador acotado se extiende de forma única a todo H.

Una derivada puede amplificar cada vez más las oscilaciones. No se puede aplicar como operador de H a cualquier elemento de H sin comprobar que la derivada existe en el sentido requerido y pertenece también a H. La pareja dominio y acción es el operador: dos fórmulas iguales con dominios diferentes no definen necesariamente el mismo T.

Para que la salida siga en ℓ², el dominio debe ser . Contiene las sucesiones de soporte finito y por eso es denso.

Cada vector básico pertenece al dominio, tiene norma uno y su imagen tiene norma n. Las imágenes de entradas unitarias crecen sin cota: T no es acotado. El dominio es propio; hay sucesiones de ℓ² que no pasan la nueva condición.

T es cerrado si →x y Tx_j→y en H implican x∈D(T) y Tx=y.

No dice que el dominio sea todo H ni que sea cerrado con la norma original. La norma de gráfica hace completo D(T) exactamente cuando T es cerrado.

El diagonal anterior es cerrado: las dos convergencias implican convergencia de cada coordenada, así que =nx_n. Como y está en ℓ², se cumple la condición de dominio. Clausurable significa que el cierre de la gráfica sigue siendo una gráfica; entonces existe la clausura del operador.

Usamos producto interno complejo lineal en la primera variable. Para T densamente definido, y pertenece a D(T*) si existe z∈H tal que ⟨Tx, y⟩=⟨x, z⟩ para todo x∈D(T).

Equivale a que x↦⟨Tx, y⟩ sea continuo para la norma original de H, no solo para la de gráfica.

En el diagonal, probar con fuerza =ny_n.

Esa condición define el mismo dominio que antes, y Cauchy–Schwarz verifica la identidad: T*=T, incluyendo dominios. El adjunto es cerrado aunque T no lo fuese.

Esencialmente autoadjunto significa que su clausura es autoadjunta y proporciona la única extensión autoadjunta.

Para A=−i d/dx con dominio H¹₀(0,1), integrar por partes prueba simetría, pero su adjunto tiene dominio H¹(0,1): no es autoadjunto. Las condiciones f(1)=eⁱθf(0), θ real fijo, dan extensiones autoadjuntas. Un autoadjunto definido en todo H sería acotado por el teorema de gráfica cerrada; si no está acotado necesita un dominio propio.

El espectro σ(T) recoge los demás valores. Para autoadjuntos el espectro es real y, si Im z≠0, la inversa tiene norma como máximo 1/|Im z|.

En el diagonal, para z fuera de los enteros positivos, se resuelve =/(n−z). La distancia de z a esos enteros es positiva y acota la inversa.

En cambio z=n anula T−zI sobre .

Por tanto el espectro es {1,2,3,…}.

Todo autoadjunto T tiene una única medida de proyecciones P sobre los conjuntos borelianos de R con .

La suma numerable se entiende en sentido fuerte: aplicada a cada vector converge en H.

Para (B)=‖P(B)x‖², el dominio es y esa integral es ‖Tx‖². En el diagonal, P(B) conserva las coordenadas n que pertenecen a B. En otros operadores la medida no tiene que concentrarse en autovalores.

Es autoadjunto y su espectro es R. La ecuación Mf=λf obligaría a soportar f en el único punto {λ}, de medida cero: no tiene autovectores no nulos.

Aun así, funciones unitarias cada vez más concentradas cerca de λ cumplen ‖(M−λ)f‖→0. Una inversa acotada contradiría esto. M−λ es inyectivo y tiene imagen densa, pero no sobreyectiva: es espectro continuo. No hay una base de autovectores que diagonalice todos los autoadjuntos como en dimensión finita.

Si g es boreliana acotada, g(T) es acotado.

Si no lo es, el dominio exige ∫|g|²d<∞.

En particular el dominio de T² puede ser menor que el de T.

Con g(λ)=e⁻ⁱᵗλ obtenemos U(t)=e⁻ⁱᵗᵀ, grupo unitario fuertemente continuo.

Stone da el recíproco: todo grupo unitario fuertemente continuo tiene un generador autoadjunto con esta convención. Continuidad fuerte significa continuidad al aplicar a cada vector; no promete continuidad en norma de operador.