Espacios localmente convexos y dualidad

Una seminorma conserva las dos primeras condiciones, pero puede dar cero en vectores distintos de cero: algunas direcciones le resultan invisibles.

Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si cada entorno del cero contiene otro entorno convexo. Convexo significa que el segmento entre dos puntos del conjunto permanece dentro. Podemos elegir además entornos equilibrados: multiplicarlos por un escalar de módulo como máximo uno no los saca del conjunto.

Para una familia de seminormas , un entorno básico de cero exige (x)<ε_i para cada uno de los r índices seleccionados con r finito y todos los ε positivos. La familia total puede ser infinita; cada entorno básico usa solo una lista finita de pruebas.

La topología es Hausdorff si las seminormas separan puntos: el único vector en todos sus núcleos es cero. Trasladar esos entornos da los de cualquier punto. Para converger a x, cada seminorma del error debe tender a cero, una por una.

Sea U un entorno abierto de cero, convexo y equilibrado. Es absorbente: para cada x, al aumentar t>0 acabamos teniendo x en tU.

Definimos su funcional de Minkowski .

La convexidad combina x en aU e y en bU para dar x+y en (a+b)U, lo que lleva a la desigualdad triangular. El equilibrio da homogeneidad absoluta.

Se recupera U={<1}.

Esto demuestra la equivalencia entre la descripción por entornos y la descripción por seminormas; no requiere una lista numerable.

En C∞([0,1]), cada derivada interior se prolonga continuamente a los extremos.

Usamos .

Estas seminormas crecen: ≤p_{n+1}.

Converger significa convergencia uniforme de cada orden de derivada por separado.

La métrica d(f, g)=∑_{n≥0}2⁻ⁿ⁻¹ min(1, (f−g)) genera esa topología.

Es completa: en una sucesión de Cauchy, cada derivada tiene límite uniforme . Pasar al límite en la identidad integral de derivadas demuestra ′=g_{j+1}; así g₀ es suave. Un espacio localmente convexo Hausdorff, metrizable y completo se llama Fréchet.

Para (x)=sin(mx)/m tenemos p₀()≤1/m, así que los valores convergen uniformemente a cero.

Pero ′(x)=cos(mx) y ′(0)=1.

Por tanto p₁()≥1 y no hay convergencia suave a cero.

La topología de C∞([0,1]) no la genera una sola norma. Si existiese una norma equivalente, su continuidad daría ‖f‖≤C (f) para algún N, y la continuidad de p_{N+1} daría p_{N+1}(f)≤C′‖f‖. Las oscilaciones m⁻ᴺsin(mx) mantienen acotado y hacen crecer p_{N+1}: contradicción.

El dual continuo E′ contiene las aplicaciones lineales L: E→R o C continuas para la topología elegida. El dual algebraico también incluye las no continuas. El criterio operativo es para alguna lista finita y C>0.

La cota implica continuidad. En sentido contrario, la continuidad en cero proporciona un entorno básico donde |L|<1; reescalar un vector y usar linealidad da la cota. Si todas esas seminormas se anulan en él, cualquier múltiplo sigue en el entorno y fuerza L(x)=0. En C∞, al ser crecientes, basta una cota C .

Si un funcional lineal L sobre un subespacio F está dominado por una seminorma p, es decir |L(x)|≤p(x), Hahn–Banach lo extiende a todo E con la misma cota. Si p es continua, la extensión es continua. El resultado vale sobre reales y complejos; la prueba compleja se obtiene de la real con cuidado en las partes reales.

En un espacio localmente convexo Hausdorff, para x≠0 hay una seminorma continua p con p(x)>0.

Así el dual continuo separa puntos. También se puede separar un punto de un cerrado convexo mediante un funcional real continuo; en el caso complejo usamos su parte real.

Converger débilmente en E significa L()→L(x) para cada L∈E′.

Se fija el funcional y después se toma el límite; no se exige uniformidad sobre todos los funcionales de norma uno. En ℓ², tiende débilmente a cero porque las coordenadas de cada vector de ℓ² tienden a cero, aunque ‖‖=1.

En el dual X′ de un Banach, la topología débil estrella prueba (x) para cada x∈X. La débil prueba además contra todos los elementos de X″. La inclusión canónica J: X→X″ es isométrica por Hahn–Banach. Si es sobreyectiva, X es reflexivo y esas dos topologías sobre X′ coinciden, sin tener que coincidir con la norma.

Banach–Alaoglu afirma que la bola cerrada unidad de X′ es compacta para σ(X′, X). Se puede ver en un producto de discos: para cada x, la coordenada L(x) queda acotada por ‖x‖, y las identidades lineales y la cota describen un subconjunto cerrado del producto compacto.

Si X es separable, esa bola con topología débil estrella es metrizable y toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Sin separabilidad, la compacidad sola puede requerir redes, no subsucesiones. Una red es una familia indexada por un conjunto dirigido. Para un Banach reflexivo, su bola unidad es débilmente compacta.