Espacios métricos y espacios topológicos

Una métrica d asigna a cada par x,y un número real no negativo. Debe cumplir: d(x,y)=0 exactamente cuando x=y; simetría d(x,y)=d(y,x); y triangular d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z). La ruta por un tercer punto no puede tener suma menor que la distancia directa asignada.

En ℝⁿ podemos medir con d₁, suma de valores absolutos de las diferencias; con d₂, distancia euclídea; o con d∞, máximo de esas diferencias absolutas. La triangular de d₁ se obtiene sumando la de valores absolutos, y la de d∞ tomando máximos. Para d₂ se obtiene de Cauchy–Schwarz.

Sus bolas cambian de forma; las desigualdades d∞≤d₂≤d₁≤n d∞ muestran que generan los mismos abiertos en dimensión finita.

U es abierto si cada x de U tiene algún radio r>0 con B(x,r) contenido en U. El radio puede depender del punto: no se exige un tamaño común para todo el conjunto.

Toda bola es abierta.

Así encontramos una bola alrededor de y que no sale de la original.

Una topología τ sobre X contiene ∅ y X, todas las uniones arbitrarias de sus miembros y todas las intersecciones finitas. Los abiertos métricos cumplen esas reglas: una unión conserva alguna bola que ya existía; para una intersección finita tomamos el menor de sus radios.

No se exige conservar intersecciones infinitas.

El singleton {0} no es abierto usual: ningún radio positivo cabe dentro.

A es cerrado cuando X∖A es abierto. De Morgan transforma los axiomas: intersecciones arbitrarias de cerrados y uniones finitas de cerrados siguen siendo cerradas. La cantidad de conjuntos permitida en cada operación no es la misma que para abiertos.

Puede haber conjuntos abiertos y cerrados a la vez, y otros que no sean ninguno. ∅ y X siempre tienen ambas propiedades. Todo depende del espacio y su topología; no de cómo dibujemos corchetes de manera aislada.

El interior int A es la unión de todos los abiertos contenidos en A: recoge puntos con un entorno que cabe dentro. La clausura cl A es la intersección de todos los cerrados que contienen A.

La equivalencia se prueba usando complementos: un entorno disjunto de A deja fuera a x de algún cerrado que contiene A, y recíprocamente. La frontera es cl A∖int A; cada entorno de un punto fronterizo toca A y también su complemento. Estar en la frontera no decide si el punto pertenece a A.

Un entorno de x es un conjunto que contiene algún abierto que contiene x; no necesita ser abierto. xₙ→x significa: para cada entorno V de x, existe un índice N tal que todos los términos n≥N están en V. No basta entrar infinitas veces si también se sale infinitas veces.

Además x∈cl A si y solo si es límite de alguna sucesión de A: para construirla, elegimos aₙ en A∩B(x,1/n). El criterio por sucesiones necesita condiciones del espacio; no caracteriza automáticamente toda clausura topológica.

En un espacio métrico, las bolas relativas son Bₓ(x,r)∩Y: es la misma distancia restringida a los puntos permitidos. Cambiar el ambiente puede convertir un extremo en punto con un entorno relativo contenido.

Los cerrados relativos son Y∩C con C cerrado de X. Un abierto o cerrado de Y no tiene por qué tener esa propiedad en X. Por eso indicamos el ambiente al escribir interior, clausura o continuidad de una aplicación definida en un subespacio.

Si d′(x,y)=min(1,|x−y|), las bolas de radio menor que uno coinciden con las usuales. Ambas métricas generan los mismos abiertos, aunque d′ no distinga tamaños mayores que uno. La topología no recupera una distancia única.

Ser una sucesión de Cauchy significa que sus términos avanzados están mutuamente cerca según la métrica concreta. Ser completo exige que toda sucesión de Cauchy converja dentro del espacio. Son propiedades que no se deciden solo con la topología: dos métricas compatibles pueden tener distinta completitud.

En un métrico, dos puntos distintos x,y tienen distancia δ>0. Las bolas de radio δ/3 son disjuntas: un punto en ambas contradiría δ≤d(x,z)+d(z,y)<2δ/3. Esta propiedad topológica se llama Hausdorff.

Por tanto, si una topología no puede separar así dos puntos, no es metrizable. Es una obstrucción necesaria; no estamos afirmando que cualquier Hausdorff sea metrizable. Para criterios suficientes necesitaremos más propiedades de separación y bases.