EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Resuelve x=x/2+3.
- PISTA 1
Una pista
Aísla la mitad de x.
Un desarrollo posible.
La ecuación x=x/2+3 equivale a x−x/2=3.
Se obtiene x/2=3 y, multiplicando por dos, x=6.
Comprobamos 6/2+3=6.
La transformación tiene constante 1/2 y el punto fijo es único.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para T(x)=x/4+1, ¿cuál es q en R?
- PISTA 1
Una pista
La pendiente da la constante.
Un desarrollo posible.
Calculamos T(x)−T(y)=(x−y)/4.
Tomando valores absolutos se obtiene |T(x)−T(y)|=|x−y|/4 para todo par real.
La constante Lipschitz óptima es q=1/4, menor que uno.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Con q=1/2, ¿cuánto vale 1/(1−q)?
- PISTA 1
Una pista
Calcula el factor geométrico.
Un desarrollo posible.
Con q=1/2, el denominador es 1−q=1/2.
El factor de la serie geométrica es el recíproco 1/(1/2).
Dividir entre un medio da 2.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba unicidad del punto fijo de una contracción.
- PISTA 1
Una pista
Compara dos supuestos puntos fijos.
Un desarrollo posible.
Supongamos que x e y son puntos fijos del mismo T.
Entonces d(x,y)=d(Tx,Ty)≤q d(x,y).
Restar q d(x,y) da (1−q)d(x,y)≤0; como 1−q>0 y la distancia es no negativa, d(x,y)=0.
La propiedad de la métrica implica x=y.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué T(x)=x+1 no contradice el teorema de Banach.
- PISTA 1
Una pista
Su constante óptima es uno.
Un desarrollo posible.
Para T(x)=x+1 se tiene |T(x)−T(y)|=|x−y|.
Si x≠y, dividir una supuesta cota de contracción por |x−y| obligaría a 1≤q.
No existe q<1 válido en R, aunque el espacio sea completo y T lo preserve.
Por tanto falla una hipótesis de Banach y la ausencia de punto fijo no contradice el teorema.