Análisis funcional no lineal

Reescribir F(x)=0 como x=T(x) convierte las soluciones en puntos fijos. Pero diferentes T pueden tener exactamente los mismos puntos fijos y un comportamiento de iteración distinto. La sucesión se construye evaluando siempre la misma función: =T().

Hay que elegir espacio, distancia y conjunto de trabajo. Una cuenta formal de punto fijo no demuestra que todas las iteraciones estén permitidas ni que converjan. Separaremos la ecuación algebraica del procedimiento para aproximarla.

Si existe 0≤q<1 con d(Tx, Ty)≤q d(x, y) para todos x, y de C, Banach garantiza un punto fijo único y convergencia desde cualquier x₀∈C. No exige dimensión finita, convexidad ni compacidad.

Las dos comprobaciones «el límite pertenece al espacio» y «cada paso permanece dentro» son distintas. Un cerrado de un Banach es completo, pero T aún tiene que preservarlo. Un conjunto abierto puede ser preservado y aun así perder su límite.

La contracción da d(, )≤qⁿd(x₁, x₀).

Para m>n, sumar las distancias entre pasos acota d(, ) por qⁿd(x₁, x₀)/(1−q). La sucesión es de Cauchy.

La completitud produce un límite x*. La contracción implica continuidad y permite pasar al límite en =T(), obteniendo T(x*)=x*. Si y* fuera otro, d(x*, y*)≤q d(x*, y*), lo que fuerza distancia cero. Cada hipótesis ha tenido un papel concreto.

El error admite la cota previa d(, x*)≤qⁿd(x₁, x₀)/(1−q).

También , útil porque el residuo se calcula sin conocer la solución. Si q se acerca a uno, un mismo residuo certifica menos precisión.

Si T y R tienen puntos fijos x, y en un conjunto común, T tiene constante q y d(Tz, Rz)≤ε, entonces d(x, y)≤ε/(1−q). Esta estimación mide sensibilidad a cambios de datos. Para aplicarla numéricamente hay que incluir también el error de evaluar las funciones.

Para F: U⊂X→Y entre Banach y U abierto, DF(x) es lineal acotado y hace que ‖F(x+h)−F(x)−DF(x)h‖/‖h‖ tienda a cero. Controla todas las direcciones pequeñas a la vez; la existencia aislada de derivadas direccionales no basta.

Si T es C¹ cerca de un conjunto convexo C y ‖DT(x)‖≤q<1 sobre sus segmentos, integrar la derivada prueba la contracción. Una derivada pequeña en un único punto no da una contracción global. Con A invertible fijo, T(x)=x−A⁻¹F(x) tiene derivada I−A⁻¹DF(x), una forma de buscar contracciones locales.

Si F es C¹ cerca de x₀ y DF(x₀) es un isomorfismo lineal acotado entre Banach, F admite una inversa C¹ entre entornos de x₀ y F(x₀). La inversa de la derivada es acotada por el teorema de aplicación abierta. El resultado no promete inyectividad global.

Para F(x, λ)=0, si F(x₀, λ₀)=0 y es invertible allí, las soluciones cercanas son x=x(λ) y x′=−()⁻¹F. Si falla la invertibilidad pueden aparecer ramas, como x²=λ; no todos los fallos tienen que seguir ese mismo patrón.

En la bola cerrada ‖y−y₀‖∞≤R, una cota |f|≤M y hM≤R garantizan preservación.

Las iteraciones son Picard. Si f solo es continua puede haber existencia sin unicidad; el control Lipschitz es una hipótesis real.

Brouwer garantiza un punto fijo para una aplicación continua de un compacto convexo no vacío de Rⁿ en sí mismo. Schauder lo extiende a un compacto convexo no vacío de un Banach. Una formulación útil usa C cerrado, acotado, convexo y no vacío, con T: C→C continuo y T(C) relativamente compacto.

En dimensión infinita cerrado y acotado no basta para compacto. Para operadores de funciones, Arzelà–Ascoli obtiene compacidad a partir de acotación uniforme y equicontinuidad. Estas herramientas pueden dar existencia sin contracción, sin unicidad y sin convergencia de las iteraciones directas.

El grado de Brouwer de F en un abierto acotado Ω respecto de cero requiere F continua en el cierre y sin ceros en el borde. Si cero es regular y F suave, se suma el signo de det DF en sus ceros. Grado no nulo fuerza un cero y se conserva en homotopías sin ceros en el borde.

Leray–Schauder adapta el mecanismo a I−T con T compacto en Banach. Las cotas previas impiden escapes al borde durante una deformación. Schaefer: si T: X→X es continuo y compacto y {x: x=tT(x), 0≤t≤1} es acotado, T tiene un punto fijo. La cota se prueba sobre posibles soluciones, sin tener que construirlas primero.

La derivada de una función convexa diferenciable es monótona. Esta condición controla un signo en la pareja dual, no una reducción de distancias como una contracción.

Una versión de Browder–Minty: si X es real, reflexivo y separable, A es monótono, hemicontinuo, acotado sobre conjuntos acotados y coercivo, es sobreyectivo.

Monotonía estricta añade unicidad. Son hipótesis diferentes de las de Banach o Schauder.