Operadores de Fredholm y teoría K

Para T: H₁→H₂ acotado, ker T son las entradas que van a cero. El conúcleo es H₂/ran T: identifica dos salidas si su diferencia se puede producir mediante T. Fredholm significa imagen cerrada y dimensiones finitas de núcleo y conúcleo.

El índice es dim ker T−dim coker T. En Hilbert, para imagen cerrada, el complemento ortogonal de ran T es ker T*, así que puede usarse dim ker T−dim ker T*. En el complemento del núcleo, T es un isomorfismo acotado hacia su imagen, con inversa acotada; ahí se puede resolver de forma estable.

Si T: V→W tiene rango r, entonces dim ker T=dim V−r y dim coker T=dim W−r. Al restar, ind T=dim V−dim W, independientemente del rango. Todos estos operadores finitos son Fredholm porque sus imágenes son cerradas.

En ℓ², el desplazamiento S(x₁, x₂,…)=(0, x₁, x₂,…) tiene núcleo cero e imagen un hiperplano cerrado: índice −1.

En cambio D(x)_n=/n tiene imagen densa no cerrada.

No podemos calcularle un índice Fredholm borrando la condición de imagen cerrada.

Un compacto envía conjuntos acotados a conjuntos de cierre compacto. Los compactos forman un ideal: componerlos con acotados sigue dando compactos. Para un Fredholm, invertimos sobre el complemento del núcleo y ponemos cero en el complemento de la imagen.

El operador R así construido satisface RT=I−P y TR=I−Q, con P, Q proyecciones de rango finito. Más generalmente una parametrix módulo compactos permite errores compactos. Atkinson dice que su existencia caracteriza Fredholm. En H→H equivale a que la clase de T sea invertible en el álgebra de Calkin B(H)/K(H).

Los invertibles de una álgebra de Banach forman un abierto: una perturbación E suficientemente pequeña se invierte mediante una serie geométrica. Atkinson lleva esa apertura a los operadores Fredholm. Además el índice es localmente constante: al separar núcleo e imagen queda un bloque invertible y un problema entre dos espacios finitos cuya diferencia de dimensiones no cambia.

Una trayectoria continua en norma de Fredholm tiene índice constante. Para K compacto, T+tK tiene la misma clase de Calkin que T para todo t entre cero y uno, así que ind(T+K)=ind T. La convergencia fuerte sola no conserva estas conclusiones.

Si S y T son Fredholm y sus espacios permiten componer, ST es Fredholm y su índice es ind S+ind T. Una sucesión exacta finita entre núcleos y conúcleos explica esa suma mediante dimensiones alternadas.

En Hilbert, el adjunto intercambia los defectos: ind T*=−ind T. Por eso un índice distinto de cero obstruye que una perturbación compacta haga invertible el operador. Todo invertible tiene índice cero y los compactos no cambian el índice.

Un fibrado complejo E→X es una familia localmente producto U×Cʳ, con cambios lineales continuos en las fibras. La suma directa suma rangos. Las clases de fibrados forman un monoide: sumamos, pero en general no hay una operación inversa dentro de los propios fibrados.

El grupo de Grothendieck añade diferencias [E]−[F]. Dos diferencias coinciden si, tras sumar un mismo fibrado auxiliar G, E⊕F′⊕G es isomorfo a E′⊕F⊕G. Esa estabilización define K⁰(X); el producto tensorial da un anillo. Una diferencia virtual no es un fibrado con fibras negativas.

Sea X compacto y una familia continua en norma de Fredholm sobre H. Los núcleos pueden saltar. Elegimos un subespacio finito V del destino con ran +V=H para todo x; la compacidad permite usar una elección común.

Entonces =⁻¹(V) forma un fibrado E de rango localmente constante y definimos . La sucesión exacta entre ker , , V y coker muestra que su rango virtual es el índice en cada punto. La clase no depende de V y es invariante por homotopía.

Para un Hilbert complejo separable infinito-dimensional, Atiyah–Jänich identifica [X, Fred(H)] con K⁰(X) mediante el índice de familias, por ejemplo para X un complejo celular finito. Se usa topología de norma en Fred(H). Para un punto se recuperan las componentes clasificadas por el índice entero.

En CP¹, el fibrado tautológico de líneas L tiene rango uno, igual que la línea trivial, pero c₁(L) es el generador negativo, no cero. La diferencia [L]−[1] tiene rango virtual cero y no es clase cero: su Chern no desaparece al estabilizar. La teoría K distingue el pegado que el rango había olvidado.

Para una C estrella unital A, se consideran proyecciones en matrices (A), permitiendo añadir bloques cero y comparar por la equivalencia correspondiente. La suma en bloques forma un monoide y su grupo de Grothendieck es K₀(A). Para A=C(X), una proyección continua p(x) define el fibrado de sus imágenes y K₀(C(X))≅K⁰(X).

K₁(A) usa clases de homotopía de unitarios matriciales, permitiendo añadir bloques identidad. La periodicidad de Bott repite cada dos grados en la teoría compleja.

La extensión de Calkin conecta una inversa módulo compactos con su clase de índice, con signo núcleo menos conúcleo.

Un operador diferencial elíptico en una variedad compacta sin borde, entre espacios de Sobolev apropiados, es Fredholm. Atiyah–Singer calcula su índice a partir del símbolo y datos topológicos. No afirma que cualquier expresión diferencial sea Fredholm sin elegir dominio y destino.

En variedades no compactas pueden fallar imagen cerrada o defectos finitos. Con borde hay que imponer condiciones adecuadas. La estabilidad, la periodicidad y la fórmula topológica son teoremas con alcances distintos: no se obtienen restando informalmente dos dimensiones infinitas.