Idea de límite y leyes de cálculo

La entrada x se coloca en horizontal; la salida f(x), en vertical. Para f(x) = 2x − 1, acercar x a tres hace que las salidas se acerquen a cinco. Tres es el punto de entrada que estudiamos; cinco es el valor de aproximación de las salidas.

El límite pregunta por entradas vecinas, distintas del punto al que se acercan. Evaluar f(3) pregunta por una entrada exacta. En este primer ejemplo coinciden en cinco, pero son preguntas diferentes y más adelante las separaremos.

Para acercarnos a tres por la izquierda elegimos 2,9; 2,99; 2,999… Por la derecha, 3,1; 3,01; 3,001… Ninguno es tres, pero sus distancias a tres disminuyen. Sustituimos cada entrada en la misma regla 2x − 1.

La tabla muestra salidas por debajo y por encima de cinco. Acercarse no exige que las salidas estén siempre a un mismo lado. En este ejemplo, la identidad |f(x) − 5| = 2|x − 3| explica el patrón para todos los vecinos, no solo para las filas escritas.

Se lee «el límite de f(x), cuando x tiende a a, es L». a está junto a la flecha de la entrada; L aparece como resultado. La flecha expresa cercanía, no una igualdad que reemplace todos los x por a en cualquier función.

a y L pueden ser distintos, iguales, negativos o cero. En este tema empezamos con límites finitos. Más adelante, escribir +∞ o −∞ describirá crecimiento sin cota; no se tratará de un número real obtenido por dividir entre cero.

Unas pocas muestras pueden ocultar lo que sucede más cerca. Por eso una tabla orienta la lectura, pero la justificación debe usar la regla de la función o un teorema con sus condiciones. Un gráfico de una ventana concreta también puede ocultar detalles pequeños.

Para la recta 2x − 1 conocemos la diferencia exacta de salidas: f(x) − 5 = 2(x − 3). Eso permite controlar cualquier entrada cercana. No dependemos de haber probado una lista que nunca podría contener todos los reales vecinos.

Cambiamos ahora de ejemplo: fuera de x = 3 usamos la regla x + 3. Al acercarnos a tres, las salidas se acercan a seis. Podemos dejar la función sin valor en tres o asignarle un valor distinto; los vecinos siguen obedeciendo x + 3.

El dibujo muestra un círculo vacío en (3; 6) y un punto lleno en (3; 1). Allí la función vale uno, pero su límite es seis. Asignar seis en el centro haría coincidir valor y límite, sin cambiar el acercamiento de los vecinos.

El límite por izquierda usa entradas menores que a y el de derecha, mayores.

Si hay entradas del dominio a ambos lados arbitrariamente cerca, el límite bilateral finito existe exactamente cuando ambos laterales existen y coinciden.

El gráfico usa otra regla: valor −2 para x < 1 y 4 para x ≥ 1. Un lado pide aproximarse a −2 y el otro a cuatro; no hay una altura única. Cambiar solo el valor en uno no repara ese salto. En un borde del dominio estudiaremos el lado disponible de forma explícita.

Si f y g tienen límites finitos A y B en el mismo punto, su suma tiene límite A + B y su producto AB.

Las funciones deben estar definidas en las entradas vecinas que se estudian.

Los polinomios son continuos y su límite en un real coincide con su evaluación. Para un cociente de polinomios basta esa sustitución cuando el denominador no se anula en el punto. Si da cero, esa regla deja de decidir; no implica automáticamente que el límite no exista.

La definición precisa usa ε > 0 como margen de error vertical y δ > 0 como cercanía horizontal. Para afirmar límite L en a pedimos: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que toda entrada del dominio con 0 < |x − a| < δ cumple |f(x) − L| < ε.

Suponemos entradas del dominio arbitrariamente cercanas a a y distintas de a.

Primero se fija la precisión ε; después elegimos δ y debe servir para todos esos vecinos. El cero excluido en 0 < |x − a| es la razón de que el valor exacto en a no decida por sí solo el límite. δ puede depender de ε y del punto, pero no se escoge de nuevo para cada x.