Una función a trozos usa distintas reglas según la entrada. Antes de hacer una cuenta miramos qué condición cumple el número. Después dibujaremos las reglas en su región y separaremos el valor exacto de las llegadas por cada lado.
Si necesitas repasar:
1. La condición elige la fórmula, no el resultado que nos convenga
Una definición a trozos dice qué regla se aplica en cada parte del dominio. Cada entrada permitida debe recibir una sola salida. Las regiones pueden ser intervalos, puntos aislados u otros conjuntos.
Lo más claro es usar partes que cubran el dominio sin solaparse. Un solapamiento también es coherente si todas sus fórmulas coinciden en las entradas compartidas. Si hay un hueco sin cláusula, esas entradas no están definidas.
Primero preguntamos dónde está la entrada
f(x)=2x+1 si x<1; x²−1 si x≥1. Calcular f(−1) y f(2).
−1
Como −1<1, usamos 2(−1)+1=−1.2
Como 2≥1, usamos 2²−1=3.Decisión
No mezclamos las dos fórmulas en una misma evaluación.
Las salidas son −1 y 3.
La condición se comprobó antes de sustituir.
Un solapamiento puede ser correcto o contradictorio
Comparar dos definiciones en cero.
Coherente
−x si x≤0 y x si x≥0: ambas dan cero en la entrada compartida.Contradictoria
x si x≤0 y x+1 si x≥0: dan cero y uno.Conclusión
La segunda no asigna una salida inequívoca en cero.
No todo solapamiento produce un error; se comparan sus valores.
La definición coherente representa |x|.
2. La condición también se intersecta con el dominio de la fórmula
Una cláusula no convierte en real una raíz de radicando negativo ni permite un denominador cero. El dominio de cada rama es su región escrita intersectada con el dominio natural de su fórmula.
Para evaluar justo en una frontera se lee dónde aparece la igualdad.
No se promedian las fórmulas en el borde.
La raíz puede recortar una región escrita
f(x)=√x si x<1; f(x)=2 si x≥1.
Primera rama
Aunque diga x<1, √x exige x≥0: queda [0,1).Segunda
El valor constante está permitido para x≥1.Unión
El dominio total es [0,∞).
Los negativos no adquieren raíz real por una condición a trozos.
f(−1) no está definida en ℝ.
La igualdad decide el valor exacto
En 2x+1 para x<1 y x²−1 para x≥1, hallar f(1).
Condición
1<1 es falso; 1≥1 es verdadero.Fórmula
Usamos x²−1.
Valor
1²−1=0.
f(1)=0.
El 3 de la otra fórmula no es el valor asignado.
3. Dibujamos cada fórmula solo en su región y unimos recorridos
El punto lleno incluye una entrada; el vacío muestra un extremo no incluido en esa rama. Dos marcas en una misma abscisa pueden representar un límite y un valor, sin dar dos salidas a la función.
El recorrido es la unión de las salidas alcanzadas por cada rama. Puede tener huecos. Además, una salida que falta en el extremo de una rama puede ser alcanzada en otra entrada o rama.
Un salto puede verse sin confundir las dos marcas
Dibujar nuestro ejemplo en la frontera uno.
Rama izquierda
La recta 2x+1 llega a (1,3), vacío porque exige x<1.Rama derecha
x²−1 incluye (1,0), lleno.
Lectura
La gráfica asigna cero en uno; el otro punto indica cómo se acerca la recta.
No hay dos valores en x=1.
Solo la marca llena representa su salida exacta.
El recorrido puede ser un conjunto de dos puntos
g(x)=0 si x<0; g(x)=2 si x≥0.
Izquierda
Solo se alcanza la salida cero.
Derecha
Solo la salida dos.
Unión
Recorrido {0,2}, no el intervalo [0,2].
No se rellena una franja de valores que ninguna rama alcanza.
La salida uno nunca aparece.
4. Los límites laterales usan entradas cercanas, no el valor en la frontera
Desde la izquierda de a usamos la regla activa para x<a cerca de a; desde la derecha, la activa para x>a. f(a) no decide esos límites porque se llega con entradas distintas de a.
Si ambos laterales coinciden en un mismo número finito, existe ese límite bilateral. Si difieren, no hay un único límite bilateral, aunque f(a) esté definida.
Tres datos de una misma frontera
Para 2x+1 si x<1 y x²−1 si x≥1, estudiar uno.
Izquierda
2x+1 tiende a tres.
Derecha
x²−1 tiende a cero.
Valor
f(1)=0; como 3≠0, no existe límite bilateral.
Hay salto y un valor exacto bien definido.
El valor cero no cambia la llegada izquierda.
El límite puede existir y diferir del valor
h(x)=2 para x≠1; h(1)=8.
Cerca por ambos lados
Todas las salidas son dos.
Límite
Los laterales coinciden: límite dos.
Punto
La asignación exacta sigue siendo ocho.
Límite y valor son preguntas separadas.
Cambiar un punto aislado no cambió las llegadas.
5. Continuidad exige las dos llegadas y el valor a la misma altura
En una frontera interior, continuidad exige límite izquierdo=límite derecho=f(a), finitos. Un parámetro puede ajustarse con esas condiciones. Primero identificamos la rama que contiene a.
Las demás entradas se estudian con su fórmula y dominio: un buen empalme no elimina otros ceros de denominador. En un extremo del dominio solo se exige la llegada desde el lado permitido, como sucede en √x al llegar a cero por la derecha.
Ajustar una altura
f(x)=2x+a si x<1; x²−1 si x≥1.
Derecha y valor
En uno ambos dan cero.
Izquierda
Tiende a 2+a.
Igualar
2+a=0: a=−2; las tres cantidades pasan a valer cero.
Se comprueba la asignación, no solo dos fórmulas sueltas.
f(1) sigue perteneciendo a la rama derecha.
Una frontera del dominio tiene un solo lado disponible
f(x)=√x en [0,∞).
Valor
f(0)=0.Llegada permitida
Cuando x→0 por la derecha, √x→0.Continuidad
Es continua en ese extremo del dominio.
No se exige una raíz real para entradas negativas.
La definición usa las entradas que pertenecen al dominio.
6. Después de unir alturas, revisamos las pendientes si se pide derivabilidad
Ser derivable exige continuidad y un único límite del cociente [f(a+h)−f(a)]/h. Dos alturas iguales pueden formar una esquina con pendientes distintas.
Para ramas que se extienden derivablemente hasta la frontera, se comparan sus derivadas después de comprobar continuidad. Si hay salto, que las fórmulas aisladas tengan la misma pendiente no prueba derivabilidad de la función.
Continua pero con esquina
f(x)=−x si x<0; x si x≥0.
Alturas
Ambos lados y f(0) valen cero al llegar.
Pendientes
Izquierda −1; derecha 1.
Decidir
|x| es continua en cero y no derivable allí.
Llegar al mismo punto no impone un mismo ritmo de cambio.
El cociente lateral depende del lado.
Pendientes iguales pero un salto
g(x)=x si x<0; x+1 si x≥0.
Ramas
Las dos fórmulas tienen derivada uno.
Alturas
Límite izquierdo cero; derecho y valor uno.
Decidir
No es continua y por tanto no es derivable en cero.
Las derivadas de las fórmulas no bastan sin continuidad.
El cociente usa el valor real g(0)=1.
Ajustar simultáneamente altura y pendiente
f(x)=ax+b si x<1; x²−1 si x≥1.
Continuidad
a+b=0.Pendientes
a=2, derivada de x²−1 en uno.Resolver
a=2,b=−2: se cumplen las dos condiciones.
El resultado une valores y derivadas en uno.
La rama izquierda es 2x−2 y ambas pendientes valen dos.
7. Para operar o integrar subdividimos donde cambian las reglas
Al sumar o multiplicar dos funciones, usamos las intersecciones de sus regiones. Dentro de cada intervalo ya sabemos qué fórmula corresponde a cada una. Un cociente excluye además los ceros del denominador.
Una integral definida se separa en los puntos de cambio y suma sus tramos cuando son integrables. Cambiar un número finito de valores no altera una integral de Riemann existente, aunque sí pueda cambiar continuidad. Para área geométrica se revisan también los signos.
Dos fronteras producen tres regiones
Sumar |x| y g(x), donde g=0 si x<1 y g=1 si x≥1.
x<0
|x|=−x y g=0: suma −x.0≤x<1
|x|=x y g=0: suma x.x≥1
|x|=x y g=1: suma x+1.
Se usan las fronteras cero y uno.
La suma en uno es dos porque la segunda rama de g incluye la igualdad.
Integrar por tramos
f(x)=1 si x<1 y f(x)=2x si x≥1; integrar de cero a dos.
Separar
De 0 a 1 usamos 1; de 1 a 2 usamos 2x.
Calcular
La primera integral vale 1; la segunda [x²] de 1 a 2 vale 3.
Sumar
Total 4.
La asignación de un solo punto de frontera no cambia esa integral.
No se integra una única fórmula sobre todo el intervalo.
8. Una definición se revisa por regiones y por fronteras
Las funciones a trozos modelan una regla que cambia al cruzar un umbral: límites de capacidad, distancias con valor absoluto o cantidades saturadas. Las condiciones deben representar lo que se quiere describir.
Probamos una entrada interior de cada región y cada frontera, revisamos cobertura y compatibilidad. Después estudiamos la propiedad solicitada; no suponemos suavidad por tener fórmulas sencillas.
Una cantidad se mantiene entre cero y dos
Definir s(x)=0 si x<0; x si 0≤x≤2; 2 si x>2.
Debajo
s(−1)=0.Dentro
s(1)=1 y los extremos son s(0)=0,s(2)=2.Por encima
s(3)=2: la salida se queda saturada.
Las condiciones cubren ℝ y no asignan valores incompatibles.
No se sigue la recta x fuera de la región central.
Un hueco en las condiciones modifica el dominio
f=x para x<1 y f=x² para x>1.
Cobertura
Los menores y mayores que uno están cubiertos.
Frontera
Ninguna cláusula incluye x=1.Dominio
ℝ sin uno, salvo que se añada una asignación explícita.
Que las dos fórmulas diesen uno no lo asigna automáticamente.
Las condiciones de pertenencia también forman parte de la definición.
9. En una frontera escribimos por separado valor y dos llegadas
La condición compara la entrada con el umbral, no con la salida. En nuestro ejemplo, al evaluar en uno se usa x²−1 porque incluye x≥1; al llegar desde la izquierda se usa 2x+1 porque las entradas aún son menores.
Por ejemplo, 0,9 y 0,99 dan 2,8 y 2,98 por la izquierda; 1,1 y 1,01 dan 0,21 y 0,0201 por la derecha. Se acercan a tres y cero respectivamente. Esas cuentas ilustran las llegadas; las fórmulas lineal y cuadrática justifican los límites.
Una tabla no cambia la asignación exacta
Comparar f(0,99),f(1),f(1,01).
Antes
0,99<1: f=2·0,99+1=2,98.Exactamente
f(1)=1²−1=0.Después
1,01>1: f=1,01²−1=0,0201.
No se aproxima f(1) por una media de las filas laterales.
La condición de igualdad sigue decidiendo el valor.
Qué habría que cambiar para unir la función
Sustituir 2x+1 por 2x−2 en la rama izquierda.
Izquierda nueva
Al acercarse a uno, 2x−2 tiende a cero.
Derecha
x²−1 sigue tendiendo a cero.
Valor
f(1)=0: ahora sí hay continuidad.
La nueva definición es otra función con un empalme coherente.
En este caso también coinciden pendientes, pero eso es una comprobación adicional.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Elegir la rama
f(x)=x+1 si x<0; f(x)=x² si x≥0. Calcula f(−2),f(0),f(3).
−2
Cumple x<0: usamos x+1.Cuenta
−2+1=−1.Cero
Cumple x≥0: usamos x² y da 0.Tres
Cumple x≥0: 3²=9.Resultados
f(−2)=−1,f(0)=0,f(3)=9.Revisar
No se usa la rama estricta x<0 para evaluar cero.
−1,0,9.
La rama de x<0 no se aplica al cero.
EJEMPLO RESUELTO 2
Ajustar continuidad
f(x)=2x+a si x<1; f(x)=x² si x≥1. Halla a para continuidad.
Frontera
Se estudia x=1.Izquierda
2x+a tiende a 2+a.
Derecha
x² tiende a uno.
Valor exacto
La rama x≥1 asigna f(1)=1.Igualar
2+a=1: a=−1.Verificar
Con a=−1 las dos llegadas y el valor son uno.
a=−1.
Con ese valor, ambos lados llegan a 1.
Los símbolos que hemos usado
- Rama
- Una fórmula acompañada del conjunto de entradas donde se aplica.
- a
- Entrada frontera donde puede cambiar la regla.
- f(a)
- Valor exacto dado por la rama que incluye a.
- L⁻,L⁺
- Límites de la función al aproximarse a a desde izquierda y derecha.
- Derivada lateral
- Límite del cociente incremental desde un solo lado.
- Partición
- División del dominio en regiones disjuntas cuya unión lo cubre.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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