Inecuaciones lineales y sus soluciones

Cumplen uno, cero, −5 y también 1,9. No cumple dos. En cambio, x ≤ 2 admite los mismos valores y añade el dos, porque el símbolo permite que sea menor o igual.

En el dibujo, la línea marcada reúne todos los valores hacia la izquierda de dos. El punto lleno incluye la frontera. No representa solo los enteros escritos bajo la recta: entre uno y dos también hay infinitos reales que cumplen. Resolver significa describir el conjunto entero, no dar solo un ejemplo.

Ambos se desplazan la misma distancia sobre la recta y el de la izquierda sigue siendo menor. Lo mismo ocurre al restar la misma cantidad.

Para x + 4 ≤ 9, restamos cuatro a ambos miembros: x + 4 − 4 ≤ 9 − 4, así que x ≤ 5. No hemos cambiado el signo de comparación. Este paso puede deshacerse sumando cuatro y conserva exactamente las soluciones.

Sobre la recta, el reflejo respecto a cero intercambia qué punto está a la izquierda. Por eso al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo debemos invertir < por > y ≤ por ≥.

Si el factor es positivo, el orden se conserva. No invertimos el signo solo porque aparezca un número negativo en cualquier parte: debe ser la operación de multiplicar o dividir los dos miembros por un factor negativo. No multiplicamos por cero para resolver, porque se perdería la información.

Si hubiera paréntesis, primero distribuiríamos el factor a todos los términos.

Tras reducir puede desaparecer x. Si queda 1 ≤ 4, la condición es verdadera para todos los reales del dominio. Si queda 5 < 1, es falsa para todos y no hay solución. No dividimos por un coeficiente cero: interpretamos la comparación que queda.

La solución es la zona común entre ambas: todo el tramo del dibujo, excluyendo menos dos e incluyendo tres. Es una condición «y», no una elección entre las dos.

Para −1 < 2x + 3 ≤ 9, restamos tres en las tres partes: −4 < 2x ≤ 6.

Si dividimos las tres partes por un negativo, se invierten ambas comparaciones y después podemos reordenar el resultado de menor a mayor.

Un paréntesis indica que el extremo no entra; un corchete, que sí entra.

El punto y coma separa extremos para no confundirlo con una coma decimal.

El infinito no es un número real que pueda incluirse como extremo: siempre queda con paréntesis. En una recta, un círculo vacío excluye la frontera y uno lleno la incluye. En un intervalo acotado revisamos cada extremo por separado.

Resolver 0 ≤ x < 3,2 en los reales incluye decimales como 1,5. Si x cuenta objetos indivisibles y debe ser entero, solo quedan 0, 1, 2 y 3. Primero obtenemos el intervalo y después aplicamos la condición del contexto.

No redondeamos una frontera para inventar nuevas soluciones. Para un entero n < 3, la mayor posibilidad es dos; para n ≤ 3, tres está permitido. Si se habla de naturales, declaramos el convenio: aquí incluimos cero entre ellos, salvo que el problema exija cantidades positivas.

Revisamos la frontera menos dos: da diez, que se incluye. Estas pruebas ayudan a detectar un lado pintado al revés.

Los ejemplos de comprobación no demuestran por sí solos que todos los valores del intervalo sean correctos: eso lo justifican las operaciones reversibles. Si un caso permitido por la respuesta falla, sí demuestra que algo salió mal. No sustituimos el método por probar una lista corta.