Un problema escrito no empieza con una ecuación: empieza con cantidades y relaciones. Si no sabemos qué significa la letra, despejarla no nos ayuda. Vamos a leer la pregunta, dibujar o tabular los datos, formar una igualdad y comprobar la respuesta con todas las condiciones del enunciado.
Si necesitas repasar:
1. La pregunta decide qué necesitamos averiguar
Nora tiene el triple de edad que Leo y entre ambos suman 48 años. Nos piden sus edades. Antes de hacer cuentas distinguimos dos relaciones: una compara las edades, y otra da su suma. No multiplicamos todos los números que aparecen sin identificar qué representan.
Una forma de empezar es probar una edad sencilla para entender la situación. Si Leo tuviera diez, Nora tendría treinta y el total sería cuarenta: no coincide con 48. El intento no es todavía la solución, pero aclara qué cantidades deben cambiar juntas.
Identificar lo que se pregunta
Cinco camisetas del mismo precio y una bolsa de 4 € cuestan 39 €. Se pide el precio de una camiseta. ¿Qué cantidad conviene nombrar x?
Separamos datos conocidos
Hay cinco camisetas, la bolsa vale cuatro y el total es treinta y nueve.
Señalamos lo desconocido solicitado
x será el precio de una camiseta, en euros.
x representa euros por camiseta.
No llamamos x al total, porque ya conocemos su valor.
No confundir el dato con la pregunta
Una persona tiene 32 años y otra 8. Se pregunta dentro de cuántos años la primera tendrá el triple de la segunda. ¿Qué representa t?
Leemos la pregunta temporal
No se pide una edad actual; ambas ya se conocen.
Nombramos la espera
t es el número de años que pasarán desde ahora.
t representa años transcurridos desde el presente.
32 y 8 permanecen como datos actuales; t no sustituye a ninguno de ellos.
2. Escribimos la unidad y los valores permitidos de la incógnita
En nuestro problema de edades, x será la edad actual de Leo, en años. Nora tendrá 3x años. Como son edades actuales, no aceptaremos un valor negativo. Según la precisión del enunciado, las edades pueden expresarse con fracciones de año; no suponemos enteros sin que haga falta.
Si x cuenta entradas o personas, sí debe ser un entero no negativo. Si cuenta entradas de adulto entre veinte vendidas, además x ≤ 20. Si representa una longitud, debe ser positiva en una figura no degenerada. Estas condiciones permiten revisar una solución algebraica.
Una cantidad de objetos tiene límites
Se venden dieciocho entradas y x representa cuántas son de adulto. ¿Qué valores puede tomar?
Usamos el significado de contar
x es un entero, no una fracción de entrada.
Usamos el total disponible
No puede haber menos de cero ni más de dieciocho.
x es entero y 0 ≤ x ≤ 18.
Una cuenta que produzca 18,5 o −2 no resolvería ese problema de entradas.
Una distancia admite fracciones
d es la distancia recorrida, en kilómetros, en un trayecto no vacío. ¿Es necesariamente entera?
Leemos la magnitud
Una distancia puede medir 2,5 km, por ejemplo.
Indicamos la condición física de este caso
d > 0 para el trayecto no vacío.
No necesita ser entera; d debe ser positiva.
No imponemos a una longitud las mismas restricciones que a un número de personas.
3. Las relaciones se traducen antes de formar la igualdad
Si Leo tiene x años, el triple es 3x. Entre ambos, x + 3x: el dibujo muestra una parte para Leo y tres iguales para Nora. Una sola letra puede describir varias cantidades cuando el enunciado ya indica cómo están relacionadas.
Las palabras se leen con cuidado: «cuatro más que x» es x + 4; «cuatro veces x» es 4x. Si hay dieciocho entradas en total y x son de adulto, las infantiles son 18 − x. No son otra cantidad independiente: completan el total.
Una diferencia de cantidades
Un número es cinco mayor que otro. Si el menor es n, expresa el mayor.
Partimos del menor
n.
Añadimos la diferencia indicada
n + 5.
El mayor es n + 5.
5n significaría cinco veces el menor, una relación diferente.
Completar un total conocido
De 24 cuadernos, x son azules y el resto verdes. Expresa la cantidad de verdes.
Leemos el total y la parte
Veinticuatro reúnen azules y verdes.
Restamos lo ya asignado
24 − x.
Hay 24 − x cuadernos verdes.
x + (24 − x) = 24 comprueba que las dos categorías reconstruyen el total.
4. La ecuación une dos descripciones de una misma cantidad
Las edades juntas se pueden describir como x + 3x y como 48 años. Como ambas expresiones nombran el mismo total, escribimos x + 3x = 48.
El igual no significa «ahora calculo algo»: une cantidades que deben coincidir. En un problema de entradas, podemos describir la recaudación sumando el dinero de cada tipo y compararla con el total dado. Cada término debe representar dinero, no mezclar euros con cantidad de entradas.
Precio repetido más un gasto fijo
Cinco camisetas iguales y una bolsa de 4 € cuestan 39 €. Halla el precio de cada camiseta.
Definimos x en euros por camiseta
Cinco cuestan 5x euros.
Formamos el mismo total de dos maneras
5x + 4 = 39.Resolvemos
5x = 35, por tanto x = 7.
Cada camiseta cuesta 7 €.
5 · 7 + 4 = 39 € comprueba el total y el gasto fijo una sola vez.
Dos tipos de entradas
Se venden 18 entradas: adulto a 10 € e infantil a 6 €. Se recaudan 148 €. Halla cuántas son de adulto.
Definimos las cantidades
x de adulto y 18 − x infantiles.
Expresamos la recaudación
10x + 6(18 − x) = 148.Desarrollamos y resolvemos
10x + 108 − 6x = 148; 4x = 40; x = 10.Recuperamos la otra cantidad
18 − 10 = 8 infantiles.
Hay 10 de adulto y 8 infantiles.
10 · 10 + 8 · 6 = 148 y 10 + 8 = 18: las dos condiciones se cumplen.
5. Un dibujo geométrico debe apoyarse en propiedades justificadas
Un rectángulo tiene perímetro 40 cm y su lado largo mide 4 cm más que el corto. Llamamos x al corto; el largo mide x + 4. Los lados opuestos de un rectángulo son iguales, así que el perímetro es 2x + 2(x + 4), no solo x + (x + 4).
El largo es doce. El dibujo muestra esas medidas obtenidas. No deducimos medidas contando píxeles o porque una figura «parezca» cuadrada: usamos las propiedades indicadas.
Un triángulo con tres lados iguales
Un triángulo equilátero tiene perímetro 27 cm. Halla su lado.
Usamos la definición de equilátero
Los tres lados miden lo mismo; llamamos l a cada uno.
Formamos el perímetro
3l = 27.Dividimos entre tres
l = 9.
Cada lado mide 9 cm.
9 + 9 + 9 = 27 cm. La igualdad de lados la da la palabra equilátero.
Una propiedad no se puede inventar
Solo sabemos que una figura es un cuadrilátero de perímetro 20 cm. ¿Podemos concluir que cada lado mide cinco?
Leemos lo dado
Cuadrilátero solo asegura cuatro lados.
Revisamos la igualdad necesaria
No se afirma que los lados sean iguales.
No; falta una condición que haga iguales los cuatro lados.
Un rectángulo de 6 por 4 también tiene perímetro veinte y no tiene cuatro lados de cinco.
6. Resolver la ecuación produce un candidato que debe respetar el contexto
Si una ecuación para un número de personas da x = 3,5, no redondeamos automáticamente a cuatro. Comprobamos la condición de contar personas completas y el enunciado. Puede haber un error de planteamiento o datos incompatibles.
También hay que responder la pregunta real. Si x era la edad menor y nos piden la mayor, no basta escribir x = 12: debemos calcular la cantidad relacionada. Al terminar damos una frase con unidad y explicamos si los datos permiten esa respuesta.
Una solución real que no es un entero permitido
Dos enteros consecutivos suman ocho. Plantea y revisa si existen.
Nombramos los enteros
n y n + 1.
Resolvemos la suma
2n + 1 = 8 da n = 3,5.Aplicamos la condición inicial
3,5 no es entero.
No existen dos enteros consecutivos que sumen ocho.
Redondear a cuatro daría cuatro y cinco, cuya suma es nueve, no ocho.
Recuperar la cantidad que se pregunta
Una cantidad es el triple de otra y suman 48. Tras resolver, x = 12 representa la pequeña. ¿Cuánto vale la grande?
Recordamos el significado de x
Doce es la cantidad pequeña.
Aplicamos la relación
3x = 36.
La grande vale 36.
Responder solo doce habría dado una cantidad distinta de la solicitada.
7. Un modelo de tarifa distingue gasto fijo y parte variable
Supongamos una tarifa ficticia de 3 € fijos más 2 € por kilómetro, sin otros cargos.
El tres se paga una vez; el producto 2d crece con la distancia.
Ese resultado vale bajo las hipótesis escritas: tarifa lineal, misma tasa para todo el trayecto y ningún suplemento. Si la tarifa cambia por tramos, el modelo también debe cambiar. No lo aplicamos a un servicio real sin comprobar que cumpla esas condiciones.
Un coste fijo por pedido
Un envío ficticio cuesta 4 € fijos más 3 € por caja, sin otros conceptos. Se pagan 25 €. ¿Cuántas cajas hay?
Definimos n como cajas enteras
C = 4 + 3n.Igualamos al total
4 + 3n = 25.Resolvemos
3n = 21, luego n = 7.
Hay 7 cajas.
4 + 3 · 7 = 25. El cuatro no se multiplica por siete porque es fijo por pedido.
Detectar un total imposible antes de despejar
Se venden diez entradas, todas de 6 € o de 10 €. ¿Puede recaudarse 110 €?
Calculamos el máximo bajo los datos
Incluso si las diez fueran de 10 €, el total sería 100 €.
Comparamos
110 supera ese máximo.
No, los datos son incompatibles con esa recaudación.
Una ecuación que diera más de diez entradas caras estaría avisando del mismo problema.
8. Validar significa comprobar cada frase, no solo la suma final
Para Leo doce y Nora treinta y seis, revisamos la relación: 36 = 3 · 12.
Revisamos el contexto: las edades no son negativas. Cumplir solo una de esas pruebas no bastaría.
En problemas temporales, el mismo tiempo transcurre para todas las personas. Si dentro de t años una persona de 32 tendrá el triple que otra de ocho, las edades futuras son 32 + t y 8 + t.
La relación cambia con el tiempo
Una persona tiene 32 años y otra 8. ¿Dentro de cuántos años la primera tendrá el triple de la segunda?
Expresamos las edades futuras
32 + t y 8 + t.
Formamos la relación del mismo momento
32 + t = 3(8 + t).Resolvemos
32 + t = 24 + 3t; 8 = 2t; t = 4.Comprobamos
Dentro de cuatro años tendrán 36 y 12: 36 = 3 · 12.
Dentro de 4 años.
Se suman los mismos cuatro años a ambas edades; no se triplica solo la edad actual.
Una suma correcta con una relación falsa
Para el problema del triple y total 48, alguien propone 20 y 28. ¿Sirve?
Comprobamos el total
20 + 28 = 48.Comprobamos el triple
28 no es tres veces veinte.
No; cumple la suma, pero falla la relación entre cantidades.
El conjunto de condiciones debe cumplirse a la vez, igual que en un sistema.
9. Una tabla ordena cantidades que cambian en el tiempo o por categoría
Antes de igualar podemos preparar una tabla: qué cantidad representa cada fila, cuál es su valor ahora y cuál será después. Para edades, añadir t años a ambas mantiene su diferencia, pero no necesariamente su proporción. Por eso no trasladamos una relación de doble de un momento a otro sin comprobarla.
En problemas de recaudación, una tabla con cantidad, precio por unidad y coste ayuda a construir cada producto. Las cantidades pueden sumarse para obtener entradas; los costes se suman para obtener euros. No mezclamos esas dos sumas en una misma igualdad.
| Persona | Ahora | Dentro de t años |
|---|---|---|
| Primera | 32 | 32 + t |
| Segunda | 8 | 8 + t |
| Condición futura | No se impone al presente | 32 + t = 3(8 + t) |
Una diferencia de edades se conserva
Mara tiene seis años más que Ivo. Si hoy Ivo tiene x años, escribe las edades dentro de cuatro años.
Edades actuales
Ivo: x. Mara: x + 6.
Añadimos cuatro a cada persona
Ivo: x + 4. Mara: x + 10.
Revisamos la diferencia
(x + 10) − (x + 4) = 6.
Dentro de cuatro años tendrán x + 4 y x + 10 años.
El paso del tiempo añade lo mismo; no mantiene automáticamente un cociente de edades.
Completar una fila de recaudación
Se venden n libros a 7 € cada uno. ¿Qué representa 7n y qué representa n?
Leemos n
Cuenta libros.
Multiplicamos por el precio unitario
7n es el dinero obtenido, en euros.
n es cantidad de libros y 7n es recaudación en euros.
Para sumar euros de varias categorías usamos productos de precio por cantidad, no las cantidades solas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Edades
Ana tiene el doble de edad que Luis. Entre ambos suman 36 años. Halla sus edades.
Definimos la incógnita con significado
x es la edad actual de Luis, en años; Ana tiene 2x.
Traducimos el total
x + 2x = 36.Reducimos y despejamos
3x = 36, de donde x = 12.Recuperamos la otra edad
Ana tiene 2 · 12 = 24 años.Comprobamos ambas condiciones
24 es el doble de doce y 12 + 24 = 36.Luis tiene 12 años y Ana 24.
Luis 12 años; Ana 24.
24=2·12 y 12+24=36.
EJEMPLO RESUELTO 2
Entradas
Se venden 20 entradas: adulto a 8 €, infantil a 5 €. Se recaudan 130 €. ¿Cuántas son de adulto?
Definimos la cantidad pedida
x es el número de entradas de adulto, entero entre cero y veinte.
Expresamos las infantiles
Hay 20 − x entradas infantiles.
Construimos la recaudación
8x + 5(20 − x) = 130.Desarrollamos y resolvemos
8x + 100 − 5x = 130; 3x = 30; x = 10.Recuperamos y comprobamos
Hay 10 infantiles.
Se venden veinte y se obtienen 10 · 8 + 10 · 5 = 130 €.Diez de adulto y diez infantiles.
10 de adulto y 10 infantiles.
10·8+10·5=130 €.
Los símbolos que hemos usado
- x
- Incógnita elegida y definida con su unidad.
- Dominio
- Valores que tienen sentido para la cantidad representada, como enteros no negativos.
- Dato
- Cantidad o relación dada por el problema.
- Modelo
- Expresiones y ecuaciones que representan la situación bajo hipótesis declaradas.
- C=pq
- Coste C de q unidades a precio unitario p, cuando ese precio es constante.
- P=2(l+a)
- Perímetro de un rectángulo de largo l y ancho a.
- Validación
- Comprobación de que la solución satisface tanto las ecuaciones como el contexto.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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