Ecuaciones de primer grado

La igualdad exige que ambos tengan el mismo valor.

Cuatro es solución y dos no lo es.

El dibujo representa una cantidad desconocida y tres unidades que completan siete. Restar esas tres unidades en ambos lados deja cuatro para x. La letra tiene el mismo valor en todas sus apariciones dentro de la ecuación. No basta elegir un número que parezca razonable: hay que comprobar la igualdad.

Una ecuación lineal genuina de una incógnita se puede escribir Ax = B con A distinto de cero, tras desarrollar y reunir términos.

No aparece x² ni otra potencia superior en esa forma reducida.

En 3x, el tres multiplica x; no es un exponente. x/2 también es lineal porque equivale a (1/2)x. Una x en un denominador, como 1/x, requiere revisar dominio y no es directamente una expresión lineal. Si al reducir se cancela toda x, aparecen los casos especiales que estudiaremos más adelante.

A la izquierda se anulan +3 y −3; a la derecha queda cuatro.

Podemos deshacer el paso sumando tres en ambos lados, por eso no hemos ganado ni perdido soluciones.

La frase «el tres pasa restando» es un atajo de escritura para esta operación en los dos lados. Primero entendemos la operación completa. Lo mismo permite juntar incógnitas: en 5x = 2x + 9, restamos 2x a ambos miembros y queda 3x = 9.

Dividimos ambos miembros entre tres: (3x)/3 = 12/3, por lo que x = 4. El mismo paso es válido con coeficientes negativos: −2x = 6 da x = −3 al dividir ambos lados entre −2.

El divisor debe ser distinto de cero. No dividimos por una expresión que podría anularse sin estudiar ese caso. Tampoco multiplicamos una ecuación por cero para resolverla: convertiría ambos lados en cero y borraría la información original. En ecuaciones, dividir por un negativo conserva el signo igual; la regla de invertir desigualdades pertenece a otro tema.

No se convierte en 3x − 1, porque el −1 también recibe el factor tres.

Un signo menos delante de un paréntesis afecta a todos sus términos. En −(x − 4) queda −x + 4. Primero distribuimos, después reducimos los términos semejantes de cada miembro y finalmente usamos operaciones iguales en ambos lados para aislar x.

Para x/3 + 1/2 = 5/6, los denominadores constantes son tres, dos y seis. Su mínimo común múltiplo es seis. Multiplicamos los dos miembros completos por seis: 6(x/3 + 1/2) = 6 · 5/6.

Restamos tres y dividimos entre dos: 2x = 2, luego x = 1. El seis no es una regla para tachar solo lo que tenga fracción: debe multiplicar todos los términos, incluidos los enteros. Este paso es reversible porque multiplicamos por la constante seis, distinta de cero.

Si A = 0, ya no hay una ecuación genuina de primer grado: debemos interpretar la igualdad restante, sin dividir entre cero.

Si queda 0 = 0, es verdadera para todos los valores del dominio original. En estas ecuaciones polinómicas el dominio son todos los reales. «La x desaparece» no nos dice cuál de los dos casos tenemos: hay que leer también las constantes.

Una vez aislada x, regresamos al enunciado inicial y calculamos cada miembro por separado. Deben coincidir y las operaciones deben estar definidas. Revisar solo la última línea puede confirmar un error que se introdujo mucho antes.

Una solución fraccionaria puede ser totalmente correcta: 2x = 5 tiene solución 5/2 en los reales. No la redondeamos a un entero porque resulte más cómoda. Si x representa personas u objetos indivisibles, el contexto puede exigir además un entero; esa condición pertenece al planteamiento del problema.