Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado se reduce a ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. La letra x es la incógnita; a, b y c son los coeficientes numéricos de esa ecuación. El signo pertenece a cada coeficiente.

El coeficiente a no puede ser cero porque desaparecería el término cuadrático. Si hay expresiones en ambos lados, primero restamos lo necesario en ambos miembros, desarrollamos y reunimos semejantes.

Si no aparece el término lineal, podemos aislar el cuadrado.

El símbolo √9 nombra solo la raíz principal positiva, tres; la ecuación x² = 9 admite ambos signos.

Dividir directamente entre x perdería la solución cero. Si queda x² = un número negativo, no hay soluciones reales porque un cuadrado real no es negativo.

Para x² − 7x + 12 = 0 buscamos dos números que sumen −7 y multipliquen 12: −3 y −4.

Un producto de números reales es cero si al menos uno de sus factores lo es.

Resolvemos x − 3 = 0 o x − 4 = 0: las soluciones son tres y cuatro. La palabra «o» importa: no exigimos que ambos factores sean cero al mismo tiempo. Si no vemos una factorización sencilla, podemos escoger completar el cuadrado o la fórmula general.

Para reconocer (x + 3)² necesitamos un nueve, porque su desarrollo es x² + 6x + 9.

El bloque x + 3 puede valer dos o menos dos.

Elegimos el tres porque es la mitad del coeficiente seis; su cuadrado, nueve, es la pieza que faltaba. No se añade solo a un lado.

Multiplicamos todos los términos por 4a: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0. Después restamos 4ac y añadimos b² en ambos lados.

El miembro izquierdo es el cuadrado (2ax + b)².

Restamos b y dividimos entre 2a, que es distinto de cero.

Para aplicarla, anotamos a, b y c con sus signos y sustituimos cada bloque entre paréntesis. Todo el numerador se divide entre 2a. El símbolo −b pide el opuesto del coeficiente b; si b es negativo, ese opuesto será positivo.

Llamamos discriminante al número Δ = b² − 4ac que aparece dentro de la raíz. Si Δ > 0, su raíz es positiva y las dos ramas de la fórmula dan dos raíces reales distintas. Si Δ = 0, las ramas coinciden y hay una única raíz real distinta, repetida dos veces.

Si Δ < 0, no existe esa raíz cuadrada dentro de los números reales, así que no hay soluciones reales. Esto no significa que la ecuación esté mal. En un curso de números complejos se puede ampliar el conjunto de soluciones; aquí hemos fijado que buscamos reales.

El factor x + 2 aparece dos veces, por eso hablamos de multiplicidad dos. El conjunto de soluciones se escribe {−2}, sin repetir el mismo elemento.

La repetición importa al estudiar polinomios y gráficas, aunque no aumente la cantidad de valores distintos que resuelven la ecuación. En una cuadrática con dos raíces diferentes r y s, la forma factorizada es a(x − r)(x − s); si coinciden, queda a(x − r)².

La gráfica y = x² − 4 asigna una altura y a cada posición x. Resolver x² − 4 = 0 busca las posiciones cuya altura es cero: los cortes con el eje horizontal.

Una cuadrática tiene forma de parábola. Con dos raíces reales distintas, corta el eje horizontal en dos posiciones. Con raíz doble, lo toca en una. Sin raíces reales, no lo alcanza. El gráfico ayuda a interpretar; las cuentas dan valores exactos que un dibujo aproximado no garantiza.

Si las raíces son r y s, desarrollar a(x − r)(x − s) da ax² − a(r + s)x + ars.

Son comprobaciones útiles, no una razón para descartar el trabajo de hallar raíces.

Si obtenemos dos candidatos, los revisamos por separado. Cada uno debe hacer verdadera la igualdad inicial. Es especialmente útil cuando había paréntesis, términos en ambos miembros o un coeficiente negativo. No basta comprobar solo la raíz positiva.

Si una cuadrática aparece después de transformar otra expresión con restricciones, además comprobamos su dominio original. Por ejemplo, multiplicar una ecuación racional por un denominador no permite recuperar un valor que lo anulaba. La fórmula resuelve la cuadrática obtenida, pero el problema completo puede imponer condiciones adicionales.

Si solo hay x² y constante, aislamos el cuadrado. Si aparece factor x, lo extraemos para conservar la raíz cero. Si reconocemos un producto o un cuadrado perfecto, factorizamos. Si no vemos una forma cómoda, completar el cuadrado o la fórmula general dan un procedimiento sistemático.

Antes de responder, indicamos si buscamos soluciones reales, escribimos todos los valores distintos y conservamos la multiplicidad cuando se pida. Una respuesta con una raíz no entera puede dejarse exacta con √; si damos un decimal aproximado, lo señalamos y evitamos redondear antes de terminar.