Raíces y radicales elementales

Un cuadrado de lado 4 tiene cuatro filas de cuatro casillas: su área es 16. Si ahora solo nos dicen que el área es 16, buscamos el lado. La pregunta es «¿qué número no negativo multiplicado por sí mismo da 16?».

El signo √ se llama radical. El número que queda dentro es el radicando: en √16 es 16. Cuando no aparece un índice pequeño, estamos pidiendo una raíz cuadrada, de índice 2. El símbolo completo nombra un número; no ordena dividir el radicando entre dos.

El dibujo explica una longitud, pero la operación también se usa con números sin unidades. Cuando hay medidas, un área en cm² produce un lado en cm. Comprobamos el candidato elevándolo al cuadrado y revisando que no sea negativo.

El símbolo √25 elige el número no negativo cuyo cuadrado es 25: vale 5. La ecuación x² = 25 pregunta por todos los valores posibles de x. Tanto 5 como −5 dan 25 al elevarlos al cuadrado. Por eso la ecuación tiene dos soluciones, aunque la raíz principal tenga un solo valor.

Para un número a positivo, las soluciones de x² = a son √a y −√a. La escritura ±√a abrevia esos dos candidatos: «más o menos raíz de a». El signo ± se añade para resolver la ecuación; no forma parte del valor que nombra √a.

Si a = 0, los dos signos dan el mismo número 0: solo hay una solución distinta. Antes de responder identificamos si estamos evaluando una expresión o buscando todas las soluciones de una igualdad.

Un real positivo por sí mismo da positivo; un negativo por sí mismo también, y cero da cero. Por tanto ningún cuadrado real puede valer −9. En los números reales √(−9) no está definida.

El lugar del signo cambia la expresión.

En √(−9), el signo está dentro y pide un cuadrado negativo. Trabajamos aquí con reales; una ampliación a números complejos necesita otras definiciones.

La raíz cúbica de 64, escrita ∛64, busca el número cuyo cubo da 64: 4·4·4 = 64. El índice es 3. La raíz cuarta busca cuatro factores iguales, la quinta cinco y así sucesivamente; aquí los índices son enteros mayores o iguales que 2.

Con índice impar una base negativa da una potencia negativa.

Con índice par se elige la raíz principal no negativa y el radicando debe ser no negativo.

Las potencias impares aumentan con la entrada real: entre positivos, un número mayor da un producto mayor; entre negativos, el de mayor magnitud da una potencia más negativa. Al cruzar cero cambia el signo. Por eso un valor real tiene una sola raíz real de índice impar.

No añadimos ± a una raíz cúbica.

Una pareja de doses forma 2² y una de treses forma 3²; queda un 3 sin pareja. Sus raíces aportan 2 y 3 fuera, y el factor suelto sigue dentro: √108 = 2·3·√3 = 6√3.

La extracción se justifica con cuadrados: si u y v son no negativos, (u√v)² = u²v y u√v es no negativo.

Cada pareja produce un factor fuera, no dos; no desaparece el factor que queda sin pareja.

Buscamos un cuadrado perfecto que divida al radicando. Si no se ve, descomponemos en primos y agrupamos parejas. Los factores se multiplican: extraer un 3 y un 2 produce coeficiente 6, no 5.

El tamaño del grupo coincide con el índice.

Una pareja no basta: todavía no se han reunido tres factores iguales. En una raíz cuarta hacen falta cuatro.

Un grupo de tres sale y quedan dos doses dentro: ∛32 = 2∛4. El resultado conserva una multiplicación: no sumamos el factor extraído al radical.

Los dos lados son no negativos y sus cuadrados valen ab; por eso nombran la misma raíz principal. Para cocientes, √a/√b = √(a/b) exige a≥0 y b>0: el denominador no puede ser cero.

Si hay factores fuera, se multiplican entre sí; los radicandos se reúnen aparte. Antes de hacer una multiplicación grande podemos factorizar sus números pequeños, agrupar y conservar los factores que no completan pareja.

Esta regla directa usa el mismo índice. Distintos índices no prohíben que exista el producto: simplemente no podemos juntar los radicandos como si las raíces fueran iguales. Por ejemplo √4·∛8 = 2·2 = 4, pero no se obtiene poniendo 4·8 dentro de una sola raíz cuadrada.

Para índices impares, las reglas de producto admiten radicandos reales de cualquier signo; el cociente sigue exigiendo divisor distinto de cero. Siempre comprobamos cada expresión antes de transformarla.

Dos copias de √3 más cuatro copias de √3 son seis copias: 2√3 + 4√3 = 6√3. El radical común funciona como una misma cantidad que estamos contando. Primero simplificamos para ver si los radicales coinciden.

En √12 + √27, las formas iniciales parecen distintas, pero √12 = 2√3 y √27 = 3√3. Ahora sí sumamos coeficientes y obtenemos 5√3. Si no quedan radicales iguales, la suma puede dejarse indicada.

La raíz no se distribuye sobre una suma ni una resta. √(9+16) = 5, mientras √9+√16 = 7.

Esa diferencia impide la supuesta regla.

Al cuadrar, −5 y 5 llegan al mismo 25. La raíz principal de ese 25 vuelve a 5. Si solo conocemos x², no podemos recuperar el signo que tenía x: el radical elige una magnitud no negativa.

El valor absoluto |x| es la distancia de x a cero.

La escritura √(x²) = x requiere además saber que x es no negativo.

Con letras también hay que conservar esta condición: √(x²y) = |x|√y cuando y≥0. Si una restricción ya dice x≥0, podemos sustituir |x| por x; si x<0, por −x. No inferimos el signo de una letra por cómo se llama.

Elevar al cuadrado conserva el orden entre no negativos: un lado mayor produce un cuadrado de mayor área.

Para afinar repetimos con decimales: 5,4² = 29,16 y 5,5² = 30,25; por tanto 5,4<√30<5,5. Son cotas, no dos posibles valores exactos de la raíz. Un dibujo puede ubicarla aproximadamente; la cuenta justifica los límites.

Al verificar una simplificación revisamos el cuadrado y el signo. −3√2 y 3√2 tienen el mismo cuadrado 18, pero solo el positivo puede representar √18. Una aproximación decimal no sustituye la forma exacta cuando se pide simplificar.