Tablas y representación gráfica

La instrucción «multiplica la entrada por dos y suma uno» define y = 2x + 1. x es la entrada e y la salida.

También escribimos f(3) = 7: la función f asigna siete a la entrada tres.

La letra f nombra la regla. f(3) no significa f multiplicado por tres; significa aplicar f a tres. Una pareja (3; 7) guarda entrada y salida en ese orden. La misma pareja puede ocupar una fila de tabla o un punto en la gráfica.

El dominio es el conjunto de entradas admitidas. La regla numérica puede aceptar todos los reales, pero una situación con cantidades enteras de objetos puede limitarlo. El dominio forma parte de la función.

En una tabla de tiempo y distancia, la fila t = 3 h, d = 6 km dice que a las tres horas consta una distancia de seis kilómetros. No mezclamos la entrada de esa fila con la salida de otra. El dibujo muestra cómo esa pareja se lee en dos ejes.

La tabla puede ponerse horizontal o vertical. Lo importante es que estén claros encabezados, unidades y correspondencias. Una casilla vacía significa dato no registrado, no automáticamente cero.

Si una misma entrada aparece con dos salidas diferentes, esa tabla no define una función de esa entrada en esa salida sin añadir otra variable que distinga casos. Dos entradas distintas sí pueden compartir una salida.

Para cero da uno; para uno, tres; para dos, cinco. Guardamos cada resultado junto a su entrada.

No cambiamos la fórmula entre filas. Los paréntesis conservan el signo de una entrada negativa. Si la fórmula incluye una raíz o un denominador, comprobamos además que la entrada pertenezca a su dominio antes de operar.

El eje horizontal muestra entradas y el vertical salidas. Para (2; 5), localizamos dos en horizontal y cinco en vertical; su intersección es el punto. La gráfica de la regla y = 2x + 1 contiene todos los puntos que siguen esa relación.

Las marcas no tienen por qué valer una unidad: el eje vertical puede avanzar de dos en dos. Antes de contar cuadritos leemos la escala y las unidades. Si un eje mide horas y otro km, no interpretamos sus distancias dibujadas como si ambos midieran lo mismo.

Su posición aproximada en un dibujo no sustituye al dato exacto.

Fijar una entrada x es mirar una vertical. Si corta la gráfica en dos alturas diferentes, esa misma entrada tiene dos salidas y la relación no es una función y de x. Un punto o ningún punto pueden aparecer según si esa entrada está o no en el dominio.

Compartir una altura entre dos entradas no rompe la definición.

Cada entrada sigue teniendo una única salida. La prueba es vertical porque estamos preguntando por una salida a partir de x.

Si conocemos una fórmula lineal válida para todos los reales, su gráfica es la recta entera y podemos unir los puntos como guía de esa regla. Si contamos cuadernos enteros, las entradas posibles son enteras y dibujamos puntos para ellas; una línea entre puntos describe una prolongación ideal, no nuevas compras permitidas.

Si la tabla son mediciones de una situación desconocida, unirlas con segmentos añade una hipótesis sobre lo que ocurre entre ellas. El dibujo debe distinguir esa aproximación de los datos observados. Tampoco unimos una curva a través de una entrada donde la fórmula no existe.

Interpolar es estimar una salida entre entradas registradas. Extrapolar es estimarla fuera de ese intervalo. Si suponemos una relación lineal entre (0; 0) y (2; 8), el punto medio sería (1; 4). Sin esa hipótesis, las dos parejas por sí solas no fijan la salida de uno.

Por ejemplo, y = 4x y y = 2x² pasan ambas por (0; 0) y (2; 8), pero en x = 1 dan cuatro y dos. El ejemplo muestra por qué dos datos no autorizan una recta si no conocemos el tipo de relación.

Extrapolar prolonga todavía más el modelo: que una regla encaje en el tramo medido no demuestra que siga fuera. Podemos calcular la predicción condicional diciendo «si se mantiene este modelo».

Tres puntos pueden sugerir una recta o una parábola, pero infinitas reglas pueden compartir esos valores y diferir en otros. Si el enunciado dice que la función es lineal, dos puntos distintos determinan su recta. Si solo da una tabla, esa condición es información adicional.

La tabla sí permite afirmar los datos que contiene. Para una entrada registrada leemos su salida, sin necesidad de adivinar la fórmula. Separar lectura de datos y construcción de modelo evita conclusiones más fuertes que la información disponible.

Elegimos una fila, sustituimos su entrada en la fórmula y comprobamos que coincide con su salida. Después buscamos ese punto en el dibujo y revisamos las escalas. Un desacuerdo puede ser de cuenta, de orden de coordenadas o de lectura del eje.

Finalmente comprobamos el alcance: entradas permitidas, unidades, si los puntos son observados o calculados y si las líneas intermedias son parte de una regla conocida o una estimación. La representación ayuda a entender; no añade datos por sí sola.