Una recta describe una relación con cambio constante: al avanzar lo mismo en la entrada, la salida cambia siempre lo mismo. Construiremos esa idea con cantidades iniciales, tablas y pequeños desplazamientos. Después deduciremos la pendiente y la ecuación de la recta, y aprenderemos a comprobar lo que cuentan sus parámetros.
Si necesitas repasar:
1. Una cantidad inicial y lo que se añade por unidad
Un taller cobra 6 € por preparar un trabajo y 3 € por cada pieza.
El fijo de 6 € se conserva; cada pieza nueva añade otros 3 €.
El 6 es la salida en x = 0 del modelo; el 3 dice cuánto cambia el coste por cada unidad de entrada. Para contar piezas completas, x es entero no negativo.
La forma general f(x) = mx + b se llama función afín. m es el cambio de salida por unidad de entrada, o pendiente. b es la salida cuando x = 0, u ordenada en el origen.
Algunos textos usan «lineal» para todas las rectas; aquí mantenemos esta distinción.
Reconstruir el precio
Un servicio cobra 8 € de preparación y 2 € por unidad. Escribe el coste para x unidades y calcula el de 5.
Separar las partes
El fijo es 8 €.
Cinco unidades aportan 2·5 = 10 €, y x unidades aportan 2x €.Sumar importes
C(x) = 2x + 8; C(5) = 10 + 8 = 18 €.
C(x) = 2x + 8; cinco unidades cuestan 18 €.
En x = 0 queda el fijo 8; una unidad adicional sube siempre 2 €.
Sin cantidad inicial
Una cinta cuesta 3 €/m, sin cargo fijo. Escribe el precio de x metros y estudia el doble de longitud.
Construir la regla
P(x) = 3x euros, con x ≥ 0.Aquí b = 0.Duplicar la entrada
P(2x) = 3·2x = 2P(x).El precio se duplica con la longitud.
P(x) = 3x es lineal y de proporcionalidad directa.
Dos metros cuestan 6 € y cuatro cuestan 12 €. Con un fijo adicional de 6 €, los totales serían 12 y 18, que no están en razón doble.
2. La pendiente compara cambios
Una recta pasa por (1,3) y (4,9). Para ir del primero al segundo, avanzamos 4 − 1 = 3 en la entrada y subimos 9 − 3 = 6 en la salida. Subir 6 en un avance de 3 equivale a subir 2 por unidad.
Δx y Δy, leídos «incremento de x» e «incremento de y», nombran los cambios. Pueden ser negativos.
Los subíndices 1 y 2 distinguen puntos, no son potencias.
Restamos en el mismo sentido arriba y abajo. En y = mx + b, restar las dos salidas cancela b y deja Δy = m·Δx. Si las unidades son euros y km, m se mide en €/km.
Un avance de varias unidades
Halla la pendiente de la recta por (2,5) y (6,17).
Medir ambos cambios
Δx = 6 − 2 = 4 y Δy = 17 − 5 = 12.Convertir a cambio por unidad
m = 12/4 = 3: por cada unidad adicional de x, y aumenta 3.
Pendiente 3.
3·4 = 12 recupera el cambio total de salida.
Pendiente negativa e inversión del orden
Halla la pendiente por (−1,7) y (3,−1), y compruébala invirtiendo el orden.
Ir del primero al segundo
Δx = 3 − (−1) = 4 y Δy = −1 − 7 = −8.Entonces m = −8/4 = −2.Invertir las dos restas
Δx = −1 − 3 = −4 y Δy = 7 − (−1) = 8.El cociente 8/(−4) sigue siendo −2.
Pendiente −2.
Invertir solo una resta cambiaría el signo por un error de orientación; invertir ambas conserva el cociente.
Un cambio menor que uno
Entre (0,2) y (4,3), ¿cuánto cambia y por unidad de x?
Leer el salto completo
La salida sube 1 mientras la entrada avanza 4.
Repartir el cambio
m = (3 − 2)/(4 − 0) = 1/4.Cada unidad de entrada añade un cuarto a la salida.
Pendiente 1/4.
Cuatro avances de 1/4 suman 1, el aumento total.
3. Si la entrada aumenta: subir, bajar o mantenerse
Cada paso a la derecha eleva la salida 2: la función es creciente.
Al aumentar x una cantidad positiva, el cambio de salida es m por esa cantidad. Por eso m > 0 significa creciente, m < 0 decreciente y m = 0 constante. La constante b fija la altura inicial; no decide el sentido del cambio.
Una vertical x = c no tiene pendiente definida como Δy/Δx, porque su avance horizontal es cero. Tampoco es una función y de x con salida real si contiene más de un punto: una misma entrada c tiene muchas alturas.
Empieza arriba y baja
¿Cómo cambia f(x) = −3x + 20 al aumentar x?
Probar dos entradas ordenadas
f(0) = 20 y f(1) = 17: la segunda salida es menor.Explicar el cambio general
La pendiente −3 indica que por cada unidad adicional se restan 3, aunque la salida inicial 20 sea positiva.
Es decreciente.
f(5) − f(2) = 5 − 14 = −9, igual a −3·(5 − 2).
Pendiente cero y vertical
Compara y = 0x − 4 con x = −4.
Leer la horizontal
En y = −4, cualquier entrada produce −4.La pendiente es 0, aunque la salida no sea cero.
Leer la vertical
En x = −4 existen puntos con y = 0 e y = 1, entre otros.La misma entrada tiene varias salidas y Δx = 0 entre sus puntos.
y = −4 es función constante; x = −4 es vertical con pendiente indefinida.
(0,−4) y (2,−4) son de la horizontal; (−4,0) y (−4,2), de la vertical.
4. Corte vertical y cero de la función
Es el corte vertical: (0,−4). La ordenada en el origen es la salida −4. Todos los puntos del eje vertical tienen primera coordenada cero.
Para el corte horizontal hacemos cero la salida: 2x − 4 = 0.
Llamamos cero de la función a esa entrada. Todos los puntos del eje horizontal tienen segunda coordenada cero.
En un dominio restringido solo cuentan los cortes con entradas permitidas.
Calcular los dos cortes
Encuentra ordenada en el origen y cero de y = −2x + 6.
Hacer cero la entrada
Con x = 0 sale 6.La ordenada es 6 y el corte vertical, (0,6).
Hacer cero la salida
0 = −2x + 6.Restamos 6 y dividimos entre −2: x = 3.El corte horizontal es (3,0).
Ordenada 6; cero 3.
Evaluar en 3 da 0; evaluar en 0 da 6. Cada cuenta comprueba un corte distinto.
Cuando m es cero
Compara los ceros de f(x) = 5 y g(x) = 0 sobre ℝ.
Revisar la primera constante
Pedir f(x) = 0 equivale a 5 = 0, imposible.No hay ceros.
Revisar la segunda
g(x) = 0 se cumple para cualquier entrada.Todos los reales son ceros.
f no tiene ceros; toda entrada de g es un cero.
No se usa −b/m porque m = 0 y se dividiría entre cero.
Un corte fuera del dominio
C(x) = 2x + 6 solo se usa para x ≥ 0. ¿Tiene cero en ese dominio?
Hallar el candidato
2x + 6 = 0 da x = −3.Revisar si está permitido
−3 queda fuera del dominio.
Para x ≥ 0 se cumple C(x) ≥ 6 y nunca sale 0.
El modelo no tiene ceros.
(−3,0) pertenece a la recta extendida, pero no al tramo del modelo.
5. Construir la fórmula desde uno o dos puntos
Si la relación es afín y conocemos dos puntos con entradas diferentes, calculamos m con sus cambios. Después usamos uno de los puntos para encontrar b. Una salida cualquiera no tiene por qué ser b: b corresponde a la entrada particular x = 0.
Sustituir el punto original comprueba esa constante.
Otra escritura es y − y₁ = m(x − x₁), forma punto-pendiente: el cambio desde el punto conocido es m por el avance. Si dos puntos tienen igual x y distinta y, no hay función afín de x que los una. Si coinciden ambas coordenadas, solo conocemos un punto y la recta no queda determinada.
Dos puntos con entradas diferentes
Halla la función afín por (−1,1) y (2,10).
Hallar la pendiente
m = (10 − 1)/(2 − (−1)) = 9/3 = 3.Hallar b con una pareja completa
En (−1,1): 1 = 3·(−1) + b.Sumamos 3 y obtenemos b = 4.La fórmula es y = 3x + 4.
y = 3x + 4.
Con −1 sale 1 y con 2 sale 10; ambas parejas cumplen la fórmula.
Pendiente y un punto
Una recta tiene pendiente −1/2 y pasa por (4,1). Halla su fórmula.
Usar lo conocido
y = −x/2 + b.El punto fija x = 4 e y = 1 en esa misma igualdad.Resolver la constante
1 = −4/2 + b = −2 + b.Entonces b = 3.
y = −x/2 + 3.
En 4 sale 1. Al avanzar dos unidades baja una, coherente con m = −1/2.
Dos tipos de datos insuficientes
Compara (2,1),(2,5) con (2,1),(2,1).
Misma entrada y salidas distintas
El primer par exige dos salidas para x = 2. Forma una vertical y no una función afín de x.
Un punto repetido
En el segundo solo hay un punto: y = x − 1 e y = 2x − 3 pasan por él, así que no se determina una recta única.
El primero es incompatible con una función afín; el segundo no determina una única recta.
En ambos Δx = 0, por lo que no se puede calcular m dividiendo Δy/Δx.
6. Rectas paralelas, coincidentes y que se encuentran
Dos tarifas suben 2 € por unidad pero empiezan en 3 € y 7 €. Siempre difieren en 4 €. Sus rectas tienen la misma pendiente y distinto b: son paralelas distintas. Si también coinciden sus cantidades iniciales, representan la misma recta.
Con pendientes diferentes puede compensarse la diferencia inicial. El encuentro se calcula igualando ambas salidas para una misma entrada. Resolvemos la ecuación, calculamos la altura y verificamos en las dos funciones.
En un plano geométrico con ejes perpendiculares y la misma unidad de longitud en ambos ejes, dos rectas no verticales son perpendiculares si m₁m₂ = −1. No basta cambiar el signo: también se toma el recíproco. Esta interpretación del ángulo necesita esas condiciones; una tasa en €/km no se interpreta por sí sola como ángulo físico.
Pendientes iguales
¿Se cruzan y = 3x + 1 e y = 3x − 5?
Comparar cambios e inicios
Las pendientes son 3 y las constantes diferentes. La primera salida siempre supera a la segunda en 6.
Intentar el encuentro
3x + 1 = 3x − 5 deja 1 = −5, imposible.
Son paralelas distintas.
En x = 0 dan 1 y −5; en x = 2 dan 7 y 1. La diferencia sigue siendo 6.
Pendientes diferentes
Encuentra el corte de y = 2x + 1 e y = −x + 7.
Igualar las salidas
2x + 1 = −x + 7.Sumamos x y restamos 1: 3x = 6; x = 2.Recuperar la altura
2·2 + 1 = 5.En la otra recta −2 + 7 también da 5.
Se cruzan en (2,5).
La respuesta es una pareja: entrada común 2 y salida común 5.
Buscar una perpendicular
Con ejes geométricos de iguales escalas, busca una perpendicular a y = 4x + 1 que pase por (0,2).
Determinar su pendiente
4m = −1 da m = −1/4.Usar el punto vertical
El punto (0,2) fija b = 2.Por tanto y = −x/4 + 2.
y = −x/4 + 2.
4·(−1/4) = −1 y la nueva fórmula devuelve 2 al introducir 0.
Coincidencia y otra perpendicularidad
Compara y = 2x + 3 con 2y = 4x + 6; después y = −3x con y = x/3.
Reducir la primera ecuación
Dividir toda 2y = 4x + 6 entre 2 da y = 2x + 3.Son la misma recta.
Multiplicar las pendientes del segundo par
−3·(1/3) = −1.En el plano geométrico con iguales escalas, las dos rectas son perpendiculares.
El primer par coincide; el segundo es perpendicular bajo las condiciones indicadas.
Cambiar solo el signo −3 por 3 daría producto −9 y no la perpendicular buscada.
7. Usar una tasa constante en un problema
Cantidad final = cantidad inicial + tasa·entrada. Una cuota de 9 € más 2 €/hora produce C(t) = 9 + 2t euros. El producto de €/hora por horas queda en euros, la misma unidad del fijo.
Para recuperar el uso desde el coste, deshacemos primero el fijo y después la tasa.
Dividir directamente 19 entre 2 mezclaría el fijo con el uso.
El modelo afirma tasa constante en su dominio. Descuentos, redondeos o cargos por tramos pueden necesitar otra regla. Que una recta pase por algunos datos no demuestra por sí solo un comportamiento afín para todas las entradas.
Recuperar el tiempo
Un alquiler cobra 10 € fijos y 4 €/hora. Si el total fue 30 €, ¿cuántas horas representa el modelo?
Plantear con magnitudes claras
C(t) = 10 + 4t euros.Buscamos t en 10 + 4t = 30.Deshacer ambas partes
Restar 10 da 4t = 20.Dividir entre 4 da t = 5.
Cinco horas.
10 € + (4 €/h)·5 h = 30 €. Dividir 30/4 incluiría indebidamente el fijo.
Una disminución a ritmo constante
Un depósito tiene 80 L y pierde 5 L/min. Modela su contenido hasta vaciarse.
Identificar inicio y tasa
V(t) = 80 − 5t litros: el inicio es 80 y el cambio por minuto es −5.Limitar el uso del modelo
t ≥ 0 y 80 − 5t ≥ 0.La segunda condición da t ≤ 16.Admitimos de 0 a 16 minutos.
V(t) = 80 − 5t para t en [0,16].
En 6 quedan 50 L y en 16 quedan 0. Prolongar la recta a tiempos posteriores daría agua negativa, fuera del modelo.
8. Representar y comprobar la recta
Elegimos dos entradas distintas, calculamos las salidas y colocamos las parejas. Saber que la función es afín autoriza a trazar su recta; una tercera pareja ayuda a detectar errores de cuenta o colocación. Sin esa hipótesis, tres datos alineados no garantizan una recta para todas las entradas.
Leemos escalas y unidades antes de contar cuadros. Una cuadrícula puede representar 1 en x y 2 en y. La pendiente se calcula con coordenadas, no con la inclinación aparente de una imagen deformada.
El dominio decide el trazo: recta completa para ℝ, segmento para intervalo cerrado o semirrecta si hay un inicio y continuación. Si la entrada cuenta objetos enteros, representamos sus puntos; unirlos añadiría entradas intermedias.
Si la ecuación no está despejada, aislamos y antes de hacer la tabla. Aplicamos la misma operación a ambos miembros. Al dividir, dividimos todos los términos del miembro correspondiente.
De ecuación a tabla
Representa 2y − 6x = 4 con dominio ℝ.
Aislar la salida
Sumamos 6x: 2y = 6x + 4.Dividimos todo entre 2: y = 3x + 2.Calcular tres parejas
x = −1 da −1; x = 0 da 2; x = 1 da 5.Colocamos (−1,−1), (0,2) y (1,5).
Usar el dominio
Es afín en ℝ: trazamos la recta por los puntos y la prolongamos en ambos sentidos.
Tres parejas completas x 3x + 2 Punto −1 −1 (−1,−1) 0 2 (0,2) 1 5 (1,5)
La recta y = 3x + 2 pasa por las tres parejas.
En la original, (1,5) da 10 − 6 = 4 y (−1,−1) da −2 + 6 = 4.
Un contexto con entradas enteras
C(n) = 2n + 3 euros para n artículos enteros, 0 ≤ n ≤ 3. ¿Se dibuja un segmento completo?
Enumerar el dominio
n puede ser 0, 1, 2 o 3; las salidas son 3, 5, 7 y 9.
Representar lo permitido
Dibujamos (0,3), (1,5), (2,7) y (3,9). El punto con n = 1,5 no representa un número permitido de artículos.
Se representan cuatro puntos.
El coste de dos artículos es 7 €. Una línea continua incorporaría una caja con un artículo y medio.
9. El cociente y/x y la pendiente dicen cosas distintas
La pendiente es (12 − 8)/(3 − 1) = 2: mide el cambio entre ambas situaciones.
Coste total dividido por uso es coste medio por unidad.
Con más unidades, se reparte el mismo fijo entre más; el aumento por unidad sigue siendo 2.
Cuando b = 0 coincide con m para todas las entradas no nulas. En cualquier función afín, la pendiente se calcula con cambios: Δy/Δx.
Promedio y cambio
Para C(x) = 4x + 12, compara el coste medio de 2 y 6 unidades con la pendiente.
Dividir cada total por su uso
C(2) = 20 y C(6) = 36.Los medios son 20/2 = 10 y 36/6 = 6 por unidad.Dividir los cambios
La pendiente es (36 − 20)/(6 − 2) = 16/4 = 4 por unidad.
Medios 10 y 6; pendiente 4.
El fijo aporta 12/2 = 6 al primer medio y 12/6 = 2 al segundo. Añadir 4 reproduce 10 y 6.
Cuándo coincide dividir y entre x
Compara f(x) = 5x y g(x) = 5x + 10 en x = 2 y x = 4.
Revisar la proporcional
f(2)/2 = 10/2 = 5; f(4)/4 = 20/4 = 5.No hay fijo y coincide con la pendiente.
Revisar el fijo
g(2)/2 = 20/2 = 10; g(4)/4 = 30/4 = 7,5.Su pendiente sigue siendo (30 − 20)/(4 − 2) = 5.
El cociente total coincide con m en f; en g cambia con la entrada.
En x = 0, y/x no existe; ambas funciones siguen teniendo pendiente 5.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos puntos
Halla la recta que pasa por (1,3) y (3,7).
Conservar las parejas
Los puntos son (1,3) y (3,7): x cambia de 1 a 3 e y de 3 a 7.
Medir ambos cambios
Δx = 3 − 1 = 2 y Δy = 7 − 3 = 4, en el mismo sentido.Encontrar la pendiente
m = 4/2 = 2.La fórmula será y = 2x + b.Determinar el inicio
Usamos (1,3): 3 = 2·1 + b.Restamos 2 y queda b = 1.Escribir la función
La ecuación es y = 2x + 1.Comprobar ambos puntos
Con 1 sale 3 y con 3 sale 7. Sus x diferentes determinan una única función afín.
y=2x+1.
Para x=3 da 7.
EJEMPLO RESUELTO 2
Tarifa
Un taxi cobra 4 € de inicio y 1,5 €/km. Expresa el coste y calcula 6 km.
Definir las magnitudes
x mide km, con x ≥ 0.C(x) es el coste en euros bajo la tarifa indicada.
Separar el fijo
Los 4 € se pagan una vez al inicio, sin multiplicarlos por los km.
Construir el coste variable
Cada km aporta 1,5 €.
Por tanto C(x) = 1,5x + 4.Usar la distancia pedida
C(6) = 1,5·6 + 4.Calcular e interpretar
El recorrido cuesta 9 € y el fijo 4 €: el total son 13 €.
Deshacer las partes
13 − 4 = 9 €; 9/1,5 = 6 km recuperan el recorrido.
13 €.
El coste variable es 9 € y el fijo 4 €.
Los símbolos que hemos usado
- y=f(x)=mx+b
- Función afín; m y b son constantes y x es la entrada.
- m
- Pendiente: cambio de salida dividido entre cambio de entrada.
- b
- Ordenada en el origen: f(0), valor de y cuando x=0.
- Δx, Δy
- Cambios de las coordenadas entre dos puntos.
- m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Pendiente entre puntos con x₂≠x₁.
- y−y₁=m(x−x₁)
- Forma punto-pendiente de una recta no vertical.
- C(x)
- Coste correspondiente a una cantidad de uso x.
- Cero de f
- Entrada x para la que f(x)=0.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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